Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33446 / 33331
↖ ↑ ↗
← S  3.091151°
E  3.724365°		 ← 609.90 m → S  3.091151°
E  3.729858°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
S  3.096636°
E  3.724365°		 ← 609.90 m →
371 974 m²		 S  3.096636°
E  3.729858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510353088378906 y=0.508598327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510353088378906 × 216)
    floor (0.510353088378906 × 65536)
    floor (33446.5)     		tx = 33446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508598327636719 × 216)
    floor (0.508598327636719 × 65536)
    floor (33331.5)     		ty = 33331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33446 / 33331 ti = "16/33446/33331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33446/33331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33446 ÷ 216
    33446 ÷ 65536     		x = 0.510345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33331 ÷ 216
    33331 ÷ 65536     		y = 0.508590698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510345458984375 × 2 - 1) × π
    0.02069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06500244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508590698242188 × 2 - 1) × π
    -0.017181396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0539769489721832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06500244} λ = 0.06500244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0539769489721832))-π/2
    2×atan(0.947453946037351)-π/2
    2×0.758422784576862-π/2
    1.51684556915372-1.57079632675     		φ = -0.05395076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06500244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05395076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.091151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33446 KachelY 33331 0.06500244 -0.05395076 3.724365 -3.091151
    Oben rechts KachelX + 1 33447 KachelY 33331 0.06509831 -0.05395076 3.729858 -3.091151
    Unten links KachelX 33446 KachelY + 1 33332 0.06500244 -0.05404649 3.724365 -3.096636
    Unten rechts KachelX + 1 33447 KachelY + 1 33332 0.06509831 -0.05404649 3.729858 -3.096636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05395076--0.05404649) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05395076--0.05404649) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06500244-0.06509831) × cos(-0.05395076) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.998545010716975 × 6371000     		do = 609.899080340522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06500244-0.06509831) × cos(-0.05404649) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.998539843940386 × 6371000     		du = 609.895924536571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05395076)-sin(-0.05404649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998545010716975-0.998539843940386)×R²
    abs(0.06509831-0.06500244)×5.16677658923825e-06×R²
    9.58700000000118e-05×5.16677658923825e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×5.16677658923825e-06×40589641000000     		ar = 371973.943748787m²