Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33445 / 33330
↖ ↑ ↗
← S  3.085665°
E  3.718872°		 ← 609.97 m → S  3.085665°
E  3.724365°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.091151°
E  3.718872°		 ← 609.96 m →
372 054 m²		 S  3.091151°
E  3.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510337829589844 y=0.508583068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510337829589844 × 216)
    floor (0.510337829589844 × 65536)
    floor (33445.5)     		tx = 33445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508583068847656 × 216)
    floor (0.508583068847656 × 65536)
    floor (33330.5)     		ty = 33330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33445 / 33330 ti = "16/33445/33330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33445/33330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33445 ÷ 216
    33445 ÷ 65536     		x = 0.510330200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33330 ÷ 216
    33330 ÷ 65536     		y = 0.508575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510330200195312 × 2 - 1) × π
    0.020660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06490656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.01715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06490656} λ = 0.06490656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0538810751729431))-π/2
    2×atan(0.947544786401298)-π/2
    2×0.758470651852476-π/2
    1.51694130370495-1.57079632675     		φ = -0.05385502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06490656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.718872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05385502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.085665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33445 KachelY 33330 0.06490656 -0.05385502 3.718872 -3.085665
    Oben rechts KachelX + 1 33446 KachelY 33330 0.06500244 -0.05385502 3.724365 -3.085665
    Unten links KachelX 33445 KachelY + 1 33331 0.06490656 -0.05395076 3.718872 -3.091151
    Unten rechts KachelX + 1 33446 KachelY + 1 33331 0.06500244 -0.05395076 3.724365 -3.091151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05385502--0.05395076) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05385502--0.05395076) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06490656-0.06500244) × cos(-0.05385502) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998550168880956 × 6371000     		do = 609.965848515135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06490656-0.06500244) × cos(-0.05395076) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998545010716975 × 6371000     		du = 609.962697643033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05385502)-sin(-0.05395076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998550168880956-0.998545010716975)×R²
    abs(0.06500244-0.06490656)×5.15816398027891e-06×R²
    9.58799999999926e-05×5.15816398027891e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×5.15816398027891e-06×40589641000000     		ar = 372053.527707918m²