Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33432 / 33324
↖ ↑ ↗
← S  3.052754°
E  3.647461°		 ← 609.98 m → S  3.052754°
E  3.652954°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
S  3.058239°
E  3.647461°		 ← 609.98 m →
372 026 m²		 S  3.058239°
E  3.652954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510139465332031 y=0.508491516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510139465332031 × 216)
    floor (0.510139465332031 × 65536)
    floor (33432.5)     		tx = 33432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508491516113281 × 216)
    floor (0.508491516113281 × 65536)
    floor (33324.5)     		ty = 33324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33432 / 33324 ti = "16/33432/33324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33432/33324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33432 ÷ 216
    33432 ÷ 65536     		x = 0.5101318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33324 ÷ 216
    33324 ÷ 65536     		y = 0.50848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5101318359375 × 2 - 1) × π
    0.020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06366020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06366020} λ = 0.06366020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0533058323775024))-π/2
    2×atan(0.948090011516408)-π/2
    2×0.758757860678552-π/2
    1.5175157213571-1.57079632675     		φ = -0.05328061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06366020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05328061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.052754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33432 KachelY 33324 0.06366020 -0.05328061 3.647461 -3.052754
    Oben rechts KachelX + 1 33433 KachelY 33324 0.06375608 -0.05328061 3.652954 -3.052754
    Unten links KachelX 33432 KachelY + 1 33325 0.06366020 -0.05337634 3.647461 -3.058239
    Unten rechts KachelX + 1 33433 KachelY + 1 33325 0.06375608 -0.05337634 3.652954 -3.058239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05328061--0.05337634) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05328061--0.05337634) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06366020-0.06375608) × cos(-0.05328061) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.998580924055504 × 6371000     		do = 609.984635359113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06366020-0.06375608) × cos(-0.05337634) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.998575821340021 × 6371000     		du = 609.981518357809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05328061)-sin(-0.05337634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998580924055504-0.998575821340021)×R²
    abs(0.06375608-0.06366020)×5.10271548270769e-06×R²
    9.58800000000065e-05×5.10271548270769e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×5.10271548270769e-06×40589641000000     		ar = 372026.135230645m²