Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3343 / 3149
↖ ↑ ↗
← S 69.068563°
E113.818359°		 ← 3 491.40 m → S 69.068563°
E113.906250°		 →
↑
3 488.89 m
↓
↑
3 488.89 m
↓
S 69.099940°
E113.818359°		 ← 3 486.41 m →
12 172 395 m²		 S 69.099940°
E113.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8162841796875 y=0.7689208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8162841796875 × 212)
    floor (0.8162841796875 × 4096)
    floor (3343.5)     		tx = 3343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7689208984375 × 212)
    floor (0.7689208984375 × 4096)
    floor (3149.5)     		ty = 3149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3343 / 3149 ti = "12/3343/3149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3343/3149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3343 ÷ 212
    3343 ÷ 4096     		x = 0.816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3149 ÷ 212
    3149 ÷ 4096     		y = 0.768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816162109375 × 2 - 1) × π
    0.63232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98650512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.53759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68891284741382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98650512} λ = 1.98650512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68891284741382))-π/2
    2×atan(0.184720233952107)-π/2
    2×0.182661244788968-π/2
    0.365322489577937-1.57079632675     		φ = -1.20547384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98650512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20547384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.068563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3343 KachelY 3149 1.98650512 -1.20547384 113.818359 -69.068563
    Oben rechts KachelX + 1 3344 KachelY 3149 1.98803910 -1.20547384 113.906250 -69.068563
    Unten links KachelX 3343 KachelY + 1 3150 1.98650512 -1.20602146 113.818359 -69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 3344 KachelY + 1 3150 1.98803910 -1.20602146 113.906250 -69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20547384--1.20602146) × R
    0.000547620000000082 × 6371000     		dl = 3488.88702000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20547384--1.20602146) × R
    0.000547620000000082 × 6371000     		dr = 3488.88702000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98650512-1.98803910) × cos(-1.20547384) × R
    0.00153398000000005 × 0.357250518488506 × 6371000     		do = 3491.40452288632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98650512-1.98803910) × cos(-1.20602146) × R
    0.00153398000000005 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 3486.40529495038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20547384)-sin(-1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357250518488506-0.356738983156393)×R²
    abs(1.98803910-1.98650512)×0.0005115353321129×R²
    0.00153398000000005×0.0005115353321129×6371000²
    0.00153398000000005×0.0005115353321129×40589641000000     		ar = 12172395.3549347m²