Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33421 / 33319
↖ ↑ ↗
← S  3.025327°
E  3.587036°		 ← 609.94 m → S  3.025327°
E  3.592529°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.030812°
E  3.587036°		 ← 609.93 m →
372 036 m²		 S  3.030812°
E  3.592529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509971618652344 y=0.508415222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509971618652344 × 216)
    floor (0.509971618652344 × 65536)
    floor (33421.5)     		tx = 33421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508415222167969 × 216)
    floor (0.508415222167969 × 65536)
    floor (33319.5)     		ty = 33319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33421 / 33319 ti = "16/33421/33319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33421/33319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33421 ÷ 216
    33421 ÷ 65536     		x = 0.509963989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33319 ÷ 216
    33319 ÷ 65536     		y = 0.508407592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509963989257812 × 2 - 1) × π
    0.019927978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06260559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508407592773438 × 2 - 1) × π
    -0.016815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0528264633813019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06260559} λ = 0.06260559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0528264633813019))-π/2
    2×atan(0.948544605423943)-π/2
    2×0.7589972080922-π/2
    1.5179944161844-1.57079632675     		φ = -0.05280191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06260559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.587036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05280191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.025327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33421 KachelY 33319 0.06260559 -0.05280191 3.587036 -3.025327
    Oben rechts KachelX + 1 33422 KachelY 33319 0.06270146 -0.05280191 3.592529 -3.025327
    Unten links KachelX 33421 KachelY + 1 33320 0.06260559 -0.05289765 3.587036 -3.030812
    Unten rechts KachelX + 1 33422 KachelY + 1 33320 0.06270146 -0.05289765 3.592529 -3.030812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05280191--0.05289765) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05280191--0.05289765) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06260559-0.06270146) × cos(-0.05280191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998606303002432 × 6371000     		do = 609.936516918787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06260559-0.06270146) × cos(-0.05289765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998601245519606 × 6371000     		du = 609.93342787013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05280191)-sin(-0.05289765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998606303002432-0.998601245519606)×R²
    abs(0.06270146-0.06260559)×5.0574828259764e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.0574828259764e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.0574828259764e-06×40589641000000     		ar = 372035.655475815m²