Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33420 / 33309
↖ ↑ ↗
← S  2.970470°
E  3.581543°		 ← 609.97 m → S  2.970470°
E  3.587036°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.975956°
E  3.581543°		 ← 609.96 m →
372 093 m²		 S  2.975956°
E  3.587036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509956359863281 y=0.508262634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509956359863281 × 216)
    floor (0.509956359863281 × 65536)
    floor (33420.5)     		tx = 33420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508262634277344 × 216)
    floor (0.508262634277344 × 65536)
    floor (33309.5)     		ty = 33309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33420 / 33309 ti = "16/33420/33309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33420/33309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33420 ÷ 216
    33420 ÷ 65536     		x = 0.50994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33309 ÷ 216
    33309 ÷ 65536     		y = 0.508255004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50994873046875 × 2 - 1) × π
    0.0198974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06250972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508255004882812 × 2 - 1) × π
    -0.016510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0518677253889008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06250972} λ = 0.06250972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0518677253889008))-π/2
    2×atan(0.949454447254923)-π/2
    2×0.759475921031378-π/2
    1.51895184206276-1.57079632675     		φ = -0.05184448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06250972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05184448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.970470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33420 KachelY 33309 0.06250972 -0.05184448 3.581543 -2.970470
    Oben rechts KachelX + 1 33421 KachelY 33309 0.06260559 -0.05184448 3.587036 -2.970470
    Unten links KachelX 33420 KachelY + 1 33310 0.06250972 -0.05194023 3.581543 -2.975956
    Unten rechts KachelX + 1 33421 KachelY + 1 33310 0.06260559 -0.05194023 3.587036 -2.975956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05184448--0.05194023) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05184448--0.05194023) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06250972-0.06260559) × cos(-0.05184448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998656375942221 × 6371000     		do = 609.967100858017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06250972-0.06260559) × cos(-0.05194023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998651409478894 × 6371000     		du = 609.964067402957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05184448)-sin(-0.05194023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998656375942221-0.998651409478894)×R²
    abs(0.06260559-0.06250972)×4.96646332648343e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.96646332648343e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.96646332648343e-06×40589641000000     		ar = 372093.188303716m²