Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3342 / 3148
↖ ↑ ↗
← S 69.037142°
E113.730469°		 ← 3 496.41 m → S 69.037142°
E113.818359°		 →
↑
3 493.92 m
↓
↑
3 493.92 m
↓
S 69.068563°
E113.730469°		 ← 3 491.40 m →
12 207 433 m²		 S 69.068563°
E113.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8160400390625 y=0.7686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8160400390625 × 212)
    floor (0.8160400390625 × 4096)
    floor (3342.5)     		tx = 3342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7686767578125 × 212)
    floor (0.7686767578125 × 4096)
    floor (3148.5)     		ty = 3148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3342 / 3148 ti = "12/3342/3148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3342/3148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3342 ÷ 212
    3342 ÷ 4096     		x = 0.81591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3148 ÷ 212
    3148 ÷ 4096     		y = 0.7685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81591796875 × 2 - 1) × π
    0.6318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98497114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    -0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98497114} λ = 1.98497114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68737886662598))-π/2
    2×atan(0.185003808685605)-π/2
    2×0.182935448879356-π/2
    0.365870897758712-1.57079632675     		φ = -1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98497114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3342 KachelY 3148 1.98497114 -1.20492543 113.730469 -69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 3343 KachelY 3148 1.98650512 -1.20492543 113.818359 -69.037142
    Unten links KachelX 3342 KachelY + 1 3149 1.98497114 -1.20547384 113.730469 -69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 3343 KachelY + 1 3149 1.98650512 -1.20547384 113.818359 -69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20492543--1.20547384) × R
    0.000548409999999944 × 6371000     		dl = 3493.92010999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20492543--1.20547384) × R
    0.000548409999999944 × 6371000     		dr = 3493.92010999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98497114-1.98650512) × cos(-1.20492543) × R
    0.00153397999999982 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 3496.40991344229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98497114-1.98650512) × cos(-1.20547384) × R
    0.00153397999999982 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 3491.40452288581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20492543)-sin(-1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.357250518488506)×R²
    abs(1.98650512-1.98497114)×0.000512165909110851×R²
    0.00153397999999982×0.000512165909110851×6371000²
    0.00153397999999982×0.000512165909110851×40589641000000     		ar = 12207432.9979717m²