Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33419 / 33318
↖ ↑ ↗
← S  3.019841°
E  3.576050°		 ← 610 m → S  3.019841°
E  3.581543°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.025327°
E  3.576050°		 ← 610 m →
372 076 m²		 S  3.025327°
E  3.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509941101074219 y=0.508399963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509941101074219 × 216)
    floor (0.509941101074219 × 65536)
    floor (33419.5)     		tx = 33419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508399963378906 × 216)
    floor (0.508399963378906 × 65536)
    floor (33318.5)     		ty = 33318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33419 / 33318 ti = "16/33419/33318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33419/33318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33419 ÷ 216
    33419 ÷ 65536     		x = 0.509933471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33318 ÷ 216
    33318 ÷ 65536     		y = 0.508392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509933471679688 × 2 - 1) × π
    0.019866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06241384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508392333984375 × 2 - 1) × π
    -0.01678466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0527305895820618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06241384} λ = 0.06241384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0527305895820618))-π/2
    2×atan(0.948635550358563)-π/2
    2×0.759045078303343-π/2
    1.51809015660669-1.57079632675     		φ = -0.05270617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06241384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.576050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05270617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.019841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33419 KachelY 33318 0.06241384 -0.05270617 3.576050 -3.019841
    Oben rechts KachelX + 1 33420 KachelY 33318 0.06250972 -0.05270617 3.581543 -3.019841
    Unten links KachelX 33419 KachelY + 1 33319 0.06241384 -0.05280191 3.576050 -3.025327
    Unten rechts KachelX + 1 33420 KachelY + 1 33319 0.06250972 -0.05280191 3.581543 -3.025327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05270617--0.05280191) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05270617--0.05280191) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06241384-0.06250972) × cos(-0.05270617) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.998611351331886 × 6371000     		do = 610.003221905924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06241384-0.06250972) × cos(-0.05280191) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.998606303002432 × 6371000     		du = 610.000138126406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05270617)-sin(-0.05280191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998611351331886-0.998606303002432)×R²
    abs(0.06250972-0.06241384)×5.04832945324996e-06×R²
    9.58800000000065e-05×5.04832945324996e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×5.04832945324996e-06×40589641000000     		ar = 372076.344426105m²