Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33417 / 33315
↖ ↑ ↗
← S  3.003385°
E  3.565064°		 ← 609.95 m → S  3.003385°
E  3.570557°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.008870°
E  3.565064°		 ← 609.95 m →
372 043 m²		 S  3.008870°
E  3.570557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509910583496094 y=0.508354187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509910583496094 × 216)
    floor (0.509910583496094 × 65536)
    floor (33417.5)     		tx = 33417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508354187011719 × 216)
    floor (0.508354187011719 × 65536)
    floor (33315.5)     		ty = 33315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33417 / 33315 ti = "16/33417/33315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33417/33315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33417 ÷ 216
    33417 ÷ 65536     		x = 0.509902954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33315 ÷ 216
    33315 ÷ 65536     		y = 0.508346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509902954101562 × 2 - 1) × π
    0.019805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06222210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508346557617188 × 2 - 1) × π
    -0.016693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0524429681843414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06222210} λ = 0.06222210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0524429681843414))-π/2
    2×atan(0.948908437483691)-π/2
    2×0.759188690385723-π/2
    1.51837738077145-1.57079632675     		φ = -0.05241895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06222210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.565064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05241895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.003385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33417 KachelY 33315 0.06222210 -0.05241895 3.565064 -3.003385
    Oben rechts KachelX + 1 33418 KachelY 33315 0.06231797 -0.05241895 3.570557 -3.003385
    Unten links KachelX 33417 KachelY + 1 33316 0.06222210 -0.05251469 3.565064 -3.008870
    Unten rechts KachelX + 1 33418 KachelY + 1 33316 0.06231797 -0.05251469 3.570557 -3.008870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05241895--0.05251469) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05241895--0.05251469) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06222210-0.06231797) × cos(-0.05241895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998626441399546 × 6371000     		do = 609.948817205451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06222210-0.06231797) × cos(-0.05251469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998621420530489 × 6371000     		du = 609.945750520036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05241895)-sin(-0.05251469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998626441399546-0.998621420530489)×R²
    abs(0.06231797-0.06222210)×5.02086905762589e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.02086905762589e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.02086905762589e-06×40589641000000     		ar = 372043.164973365m²