Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3341 / 3150
↖ ↑ ↗
← S 69.099940°
E113.642578°		 ← 3 486.41 m → S 69.099940°
E113.730469°		 →
↑
3 483.92 m
↓
↑
3 483.92 m
↓
S 69.131271°
E113.642578°		 ← 3 481.41 m →
12 137 651 m²		 S 69.131271°
E113.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8157958984375 y=0.7691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8157958984375 × 212)
    floor (0.8157958984375 × 4096)
    floor (3341.5)     		tx = 3341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7691650390625 × 212)
    floor (0.7691650390625 × 4096)
    floor (3150.5)     		ty = 3150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3341 / 3150 ti = "12/3341/3150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3341/3150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3341 ÷ 212
    3341 ÷ 4096     		x = 0.815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3150 ÷ 212
    3150 ÷ 4096     		y = 0.76904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815673828125 × 2 - 1) × π
    0.63134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98343716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98343716} λ = 1.98343716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69044682820166))-π/2
    2×atan(0.184437093883333)-π/2
    2×0.182387433283499-π/2
    0.364774866566997-1.57079632675     		φ = -1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98343716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3341 KachelY 3150 1.98343716 -1.20602146 113.642578 -69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 3342 KachelY 3150 1.98497114 -1.20602146 113.730469 -69.099940
    Unten links KachelX 3341 KachelY + 1 3151 1.98343716 -1.20656830 113.642578 -69.131271
    Unten rechts KachelX + 1 3342 KachelY + 1 3151 1.98497114 -1.20656830 113.730469 -69.131271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20602146--1.20656830) × R
    0.000546839999999937 × 6371000     		dl = 3483.9176399996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20602146--1.20656830) × R
    0.000546839999999937 × 6371000     		dr = 3483.9176399996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98343716-1.98497114) × cos(-1.20602146) × R
    0.00153398000000005 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 3486.40529495038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98343716-1.98497114) × cos(-1.20656830) × R
    0.00153398000000005 × 0.356228069674021 × 6371000     		du = 3481.41214434361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20602146)-sin(-1.20656830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.356228069674021)×R²
    abs(1.98497114-1.98343716)×0.000510913482372533×R²
    0.00153398000000005×0.000510913482372533×6371000²
    0.00153398000000005×0.000510913482372533×40589641000000     		ar = 12137651.346991m²