Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33406 / 33322
↖ ↑ ↗
← S  3.041783°
E  3.504638°		 ← 609.99 m → S  3.041783°
E  3.510132°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.047269°
E  3.504638°		 ← 609.99 m →
372 069 m²		 S  3.047269°
E  3.510132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509742736816406 y=0.508460998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509742736816406 × 216)
    floor (0.509742736816406 × 65536)
    floor (33406.5)     		tx = 33406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508460998535156 × 216)
    floor (0.508460998535156 × 65536)
    floor (33322.5)     		ty = 33322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33406 / 33322 ti = "16/33406/33322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33406/33322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33406 ÷ 216
    33406 ÷ 65536     		x = 0.509735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33322 ÷ 216
    33322 ÷ 65536     		y = 0.508453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509735107421875 × 2 - 1) × π
    0.01947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06116748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.01690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0531140847790222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06116748} λ = 0.06116748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0531140847790222))-π/2
    2×atan(0.948271822929653)-π/2
    2×0.758853598913847-π/2
    1.51770719782769-1.57079632675     		φ = -0.05308913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06116748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.504638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05308913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.041783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33406 KachelY 33322 0.06116748 -0.05308913 3.504638 -3.041783
    Oben rechts KachelX + 1 33407 KachelY 33322 0.06126336 -0.05308913 3.510132 -3.041783
    Unten links KachelX 33406 KachelY + 1 33323 0.06116748 -0.05318487 3.504638 -3.047269
    Unten rechts KachelX + 1 33407 KachelY + 1 33323 0.06126336 -0.05318487 3.510132 -3.047269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05308913--0.05318487) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05308913--0.05318487) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06116748-0.06126336) × cos(-0.05308913) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998591103094022 × 6371000     		do = 609.990853239813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06116748-0.06126336) × cos(-0.05318487) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998586018151356 × 6371000     		du = 609.98774709506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05308913)-sin(-0.05318487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998591103094022-0.998586018151356)×R²
    abs(0.06126336-0.06116748)×5.0849426657118e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.0849426657118e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.0849426657118e-06×40589641000000     		ar = 372068.793219267m²