Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33405 / 33303
↖ ↑ ↗
← S  2.937555°
E  3.499146°		 ← 609.99 m → S  2.937555°
E  3.504638°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  2.943041°
E  3.499146°		 ← 609.98 m →
372 065 m²		 S  2.943041°
E  3.504638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509727478027344 y=0.508171081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509727478027344 × 216)
    floor (0.509727478027344 × 65536)
    floor (33405.5)     		tx = 33405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508171081542969 × 216)
    floor (0.508171081542969 × 65536)
    floor (33303.5)     		ty = 33303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33405 / 33303 ti = "16/33405/33303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33405/33303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33405 ÷ 216
    33405 ÷ 65536     		x = 0.509719848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33303 ÷ 216
    33303 ÷ 65536     		y = 0.508163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509719848632812 × 2 - 1) × π
    0.019439697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06107161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508163452148438 × 2 - 1) × π
    -0.016326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06107161} λ = 0.06107161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0512924825934601))-π/2
    2×atan(0.950000771204699)-π/2
    2×0.759763160239451-π/2
    1.5195263204789-1.57079632675     		φ = -0.05127001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06107161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.499146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05127001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.937555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33405 KachelY 33303 0.06107161 -0.05127001 3.499146 -2.937555
    Oben rechts KachelX + 1 33406 KachelY 33303 0.06116748 -0.05127001 3.504638 -2.937555
    Unten links KachelX 33405 KachelY + 1 33304 0.06107161 -0.05136575 3.499146 -2.943041
    Unten rechts KachelX + 1 33406 KachelY + 1 33304 0.06116748 -0.05136575 3.504638 -2.943041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05127001--0.05136575) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05127001--0.05136575) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06107161-0.06116748) × cos(-0.05127001) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998685980912541 × 6371000     		do = 609.985183211864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06107161-0.06116748) × cos(-0.05136575) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998681069894921 × 6371000     		du = 609.982183622364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05127001)-sin(-0.05136575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998685980912541-0.998681069894921)×R²
    abs(0.06116748-0.06107161)×4.91101761912471e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.91101761912471e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.91101761912471e-06×40589641000000     		ar = 372065.367228837m²