Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33394 / 24442
↖ ↑ ↗
← N 41.533254°
E  3.438721°		 ← 457.22 m → N 41.533254°
E  3.444214°		 →
↑
457.25 m
↓
↑
457.25 m
↓
N 41.529142°
E  3.438721°		 ← 457.25 m →
209 068 m²		 N 41.529142°
E  3.444214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509559631347656 y=0.372962951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509559631347656 × 216)
    floor (0.509559631347656 × 65536)
    floor (33394.5)     		tx = 33394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372962951660156 × 216)
    floor (0.372962951660156 × 65536)
    floor (24442.5)     		ty = 24442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33394 / 24442 ti = "16/33394/24442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33394/24442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33394 ÷ 216
    33394 ÷ 65536     		x = 0.509552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24442 ÷ 216
    24442 ÷ 65536     		y = 0.372955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509552001953125 × 2 - 1) × π
    0.01910400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06001700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372955322265625 × 2 - 1) × π
    0.25408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.798245252473175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06001700} λ = 0.06001700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.798245252473175))-π/2
    2×atan(2.22163909042389)-π/2
    2×1.14784418031874-π/2
    2.29568836063748-1.57079632675     		φ = 0.72489203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06001700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.438721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72489203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.533254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33394 KachelY 24442 0.06001700 0.72489203 3.438721 41.533254
    Oben rechts KachelX + 1 33395 KachelY 24442 0.06011287 0.72489203 3.444214 41.533254
    Unten links KachelX 33394 KachelY + 1 24443 0.06001700 0.72482026 3.438721 41.529142
    Unten rechts KachelX + 1 33395 KachelY + 1 24443 0.06011287 0.72482026 3.444214 41.529142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72489203-0.72482026) × R
    7.17700000000265e-05 × 6371000     		dl = 457.246670000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72489203-0.72482026) × R
    7.17700000000265e-05 × 6371000     		dr = 457.246670000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06001700-0.06011287) × cos(0.72489203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748571016336947 × 6371000     		do = 457.218021755067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06001700-0.06011287) × cos(0.72482026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748618601839302 × 6371000     		du = 457.247086397935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72489203)-sin(0.72482026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748571016336947-0.748618601839302)×R²
    abs(0.06011287-0.06001700)×4.75855023549521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75855023549521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75855023549521e-05×40589641000000     		ar = 209068.062856914m²