Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33386 / 33321
↖ ↑ ↗
← S  3.036298°
E  3.394776°		 ← 609.93 m → S  3.036298°
E  3.400268°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.041783°
E  3.394776°		 ← 609.93 m →
372 032 m²		 S  3.041783°
E  3.400268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509437561035156 y=0.508445739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509437561035156 × 216)
    floor (0.509437561035156 × 65536)
    floor (33386.5)     		tx = 33386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508445739746094 × 216)
    floor (0.508445739746094 × 65536)
    floor (33321.5)     		ty = 33321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33386 / 33321 ti = "16/33386/33321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33386/33321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33386 ÷ 216
    33386 ÷ 65536     		x = 0.509429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33321 ÷ 216
    33321 ÷ 65536     		y = 0.508438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509429931640625 × 2 - 1) × π
    0.01885986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05925001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.016876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0530182109797821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05925001} λ = 0.05925001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0530182109797821))-π/2
    2×atan(0.948362741710324)-π/2
    2×0.758901468397014-π/2
    1.51780293679403-1.57079632675     		φ = -0.05299339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05925001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.394776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05299339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.036298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33386 KachelY 33321 0.05925001 -0.05299339 3.394776 -3.036298
    Oben rechts KachelX + 1 33387 KachelY 33321 0.05934588 -0.05299339 3.400268 -3.036298
    Unten links KachelX 33386 KachelY + 1 33322 0.05925001 -0.05308913 3.394776 -3.041783
    Unten rechts KachelX + 1 33387 KachelY + 1 33322 0.05934588 -0.05308913 3.400268 -3.041783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05299339--0.05308913) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05299339--0.05308913) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05925001-0.05934588) × cos(-0.05299339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998596178883454 × 6371000     		do = 609.930333230733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05925001-0.05934588) × cos(-0.05308913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998591103094022 × 6371000     		du = 609.927233000624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05299339)-sin(-0.05308913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998596178883454-0.998591103094022)×R²
    abs(0.05934588-0.05925001)×5.07578943231835e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.07578943231835e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.07578943231835e-06×40589641000000     		ar = 372031.880266154m²