Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33377 / 33249
↖ ↑ ↗
← S  2.641276°
E  3.345337°		 ← 610.20 m → S  2.641276°
E  3.350830°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
S  2.646763°
E  3.345337°		 ← 610.20 m →
372 315 m²		 S  2.646763°
E  3.350830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509300231933594 y=0.507347106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509300231933594 × 216)
    floor (0.509300231933594 × 65536)
    floor (33377.5)     		tx = 33377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507347106933594 × 216)
    floor (0.507347106933594 × 65536)
    floor (33249.5)     		ty = 33249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33377 / 33249 ti = "16/33377/33249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33377/33249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33377 ÷ 216
    33377 ÷ 65536     		x = 0.509292602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33249 ÷ 216
    33249 ÷ 65536     		y = 0.507339477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509292602539062 × 2 - 1) × π
    0.018585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05838714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507339477539062 × 2 - 1) × π
    -0.014678955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.046115297434494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05838714} λ = 0.05838714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.046115297434494))-π/2
    2×atan(0.95493185465032)-π/2
    2×0.762348682816622-π/2
    1.52469736563324-1.57079632675     		φ = -0.04609896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05838714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.345337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04609896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.641276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33377 KachelY 33249 0.05838714 -0.04609896 3.345337 -2.641276
    Oben rechts KachelX + 1 33378 KachelY 33249 0.05848302 -0.04609896 3.350830 -2.641276
    Unten links KachelX 33377 KachelY + 1 33250 0.05838714 -0.04619473 3.345337 -2.646763
    Unten rechts KachelX + 1 33378 KachelY + 1 33250 0.05848302 -0.04619473 3.350830 -2.646763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04609896--0.04619473) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dl = 610.150670000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04609896--0.04619473) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dr = 610.150670000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05838714-0.05848302) × cos(-0.04609896) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99893763110138 × 6371000     		do = 610.202530385969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05838714-0.05848302) × cos(-0.04619473) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99893321318644 × 6371000     		du = 610.19983169609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04609896)-sin(-0.04619473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99893763110138-0.99893321318644)×R²
    abs(0.05848302-0.05838714)×4.41791493954735e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.41791493954735e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.41791493954735e-06×40589641000000     		ar = 372314.659731545m²