Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33377 / 33246
↖ ↑ ↗
← S  2.624814°
E  3.345337°		 ← 610.21 m → S  2.624814°
E  3.350830°		 →
↑
610.21 m
↓
↑
610.21 m
↓
S  2.630301°
E  3.345337°		 ← 610.21 m →
372 358 m²		 S  2.630301°
E  3.350830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509300231933594 y=0.507301330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509300231933594 × 216)
    floor (0.509300231933594 × 65536)
    floor (33377.5)     		tx = 33377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507301330566406 × 216)
    floor (0.507301330566406 × 65536)
    floor (33246.5)     		ty = 33246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33377 / 33246 ti = "16/33377/33246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33377/33246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33377 ÷ 216
    33377 ÷ 65536     		x = 0.509292602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33246 ÷ 216
    33246 ÷ 65536     		y = 0.507293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509292602539062 × 2 - 1) × π
    0.018585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05838714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.01458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0458276760367737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05838714} λ = 0.05838714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0458276760367737))-π/2
    2×atan(0.955206552987749)-π/2
    2×0.762492341685535-π/2
    1.52498468337107-1.57079632675     		φ = -0.04581164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05838714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.345337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04581164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.624814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33377 KachelY 33246 0.05838714 -0.04581164 3.345337 -2.624814
    Oben rechts KachelX + 1 33378 KachelY 33246 0.05848302 -0.04581164 3.350830 -2.624814
    Unten links KachelX 33377 KachelY + 1 33247 0.05838714 -0.04590742 3.345337 -2.630301
    Unten rechts KachelX + 1 33378 KachelY + 1 33247 0.05848302 -0.04590742 3.350830 -2.630301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04581164--0.04590742) × R
    9.57799999999967e-05 × 6371000     		dl = 610.214379999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04581164--0.04590742) × R
    9.57799999999967e-05 × 6371000     		dr = 610.214379999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05838714-0.05848302) × cos(-0.04581164) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.9989508303311 × 6371000     		do = 610.210593154978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05838714-0.05848302) × cos(-0.04590742) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998946439444772 × 6371000     		du = 610.207910975567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04581164)-sin(-0.04590742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9989508303311-0.998946439444772)×R²
    abs(0.05848302-0.05838714)×4.3908863277542e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.3908863277542e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.3908863277542e-06×40589641000000     		ar = 372358.460703939m²