Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33376 / 22495
↖ ↑ ↗
← N 75.519838°
W 88.330078°		 ← 76.37 m → N 75.519838°
W 88.327331°		 →
↑
76.32 m
↓
↑
76.32 m
↓
N 75.519151°
W 88.330078°		 ← 76.37 m →
5 829 m²		 N 75.519151°
W 88.327331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.254642486572266 y=0.171627044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.254642486572266 × 217)
    floor (0.254642486572266 × 131072)
    floor (33376.5)     		tx = 33376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171627044677734 × 217)
    floor (0.171627044677734 × 131072)
    floor (22495.5)     		ty = 22495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33376 / 22495 ti = "17/33376/22495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33376/22495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33376 ÷ 217
    33376 ÷ 131072     		x = 0.254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22495 ÷ 217
    22495 ÷ 131072     		y = 0.171623229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.49072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.54165069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171623229980469 × 2 - 1) × π
    0.656753540039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.06325209654684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54165069} λ = -1.54165069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06325209654684))-π/2
    2×atan(7.87152719666426)-π/2
    2×1.44443307560963-π/2
    2.88886615121926-1.57079632675     		φ = 1.31806982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54165069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31806982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.519838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33376 KachelY 22495 -1.54165069 1.31806982 -88.330078 75.519838
    Oben rechts KachelX + 1 33377 KachelY 22495 -1.54160275 1.31806982 -88.327331 75.519838
    Unten links KachelX 33376 KachelY + 1 22496 -1.54165069 1.31805784 -88.330078 75.519151
    Unten rechts KachelX + 1 33377 KachelY + 1 22496 -1.54160275 1.31805784 -88.327331 75.519151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31806982-1.31805784) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dl = 76.3245800001435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31806982-1.31805784) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dr = 76.3245800001435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54165069--1.54160275) × cos(1.31806982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250044782702857 × 6371000     		do = 76.3701127901091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54165069--1.54160275) × cos(1.31805784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250056382131499 × 6371000     		du = 76.3736555541858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31806982)-sin(1.31805784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250044782702857-0.250056382131499)×R²
    abs(-1.54160275--1.54165069)×1.15994286422616e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15994286422616e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15994286422616e-05×40589641000000     		ar = 5829.05198330078m²