Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33375 / 24411
↖ ↑ ↗
← N 41.660601°
E  3.334351°		 ← 456.32 m → N 41.660601°
E  3.339844°		 →
↑
456.35 m
↓
↑
456.35 m
↓
N 41.656497°
E  3.334351°		 ← 456.35 m →
208 249 m²		 N 41.656497°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509269714355469 y=0.372489929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509269714355469 × 216)
    floor (0.509269714355469 × 65536)
    floor (33375.5)     		tx = 33375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372489929199219 × 216)
    floor (0.372489929199219 × 65536)
    floor (24411.5)     		ty = 24411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33375 / 24411 ti = "16/33375/24411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33375/24411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33375 ÷ 216
    33375 ÷ 65536     		x = 0.509262084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24411 ÷ 216
    24411 ÷ 65536     		y = 0.372482299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509262084960938 × 2 - 1) × π
    0.018524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05819540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372482299804688 × 2 - 1) × π
    0.255035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.801217340249619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05819540} λ = 0.05819540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801217340249619))-π/2
    2×atan(2.22825181874503)-π/2
    2×1.14895549341447-π/2
    2.29791098682894-1.57079632675     		φ = 0.72711466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05819540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.334351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72711466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.660601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33375 KachelY 24411 0.05819540 0.72711466 3.334351 41.660601
    Oben rechts KachelX + 1 33376 KachelY 24411 0.05829127 0.72711466 3.339844 41.660601
    Unten links KachelX 33375 KachelY + 1 24412 0.05819540 0.72704303 3.334351 41.656497
    Unten rechts KachelX + 1 33376 KachelY + 1 24412 0.05829127 0.72704303 3.339844 41.656497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72711466-0.72704303) × R
    7.16299999999892e-05 × 6371000     		dl = 456.354729999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72711466-0.72704303) × R
    7.16299999999892e-05 × 6371000     		dr = 456.354729999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05819540-0.05829127) × cos(0.72711466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747095443451781 × 6371000     		do = 456.316759883064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05819540-0.05829127) × cos(0.72704303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747143055198113 × 6371000     		du = 456.345840555432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72711466)-sin(0.72704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747095443451781-0.747143055198113)×R²
    abs(0.05829127-0.05819540)×4.76117463317216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76117463317216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76117463317216e-05×40589641000000     		ar = 208248.947391063m²