Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33374 / 24407
↖ ↑ ↗
← N 41.677015°
E  3.328857°		 ← 456.25 m → N 41.677015°
E  3.334351°		 →
↑
456.23 m
↓
↑
456.23 m
↓
N 41.672912°
E  3.328857°		 ← 456.28 m →
208 159 m²		 N 41.672912°
E  3.334351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509254455566406 y=0.372428894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509254455566406 × 216)
    floor (0.509254455566406 × 65536)
    floor (33374.5)     		tx = 33374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372428894042969 × 216)
    floor (0.372428894042969 × 65536)
    floor (24407.5)     		ty = 24407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33374 / 24407 ti = "16/33374/24407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33374/24407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33374 ÷ 216
    33374 ÷ 65536     		x = 0.509246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24407 ÷ 216
    24407 ÷ 65536     		y = 0.372421264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509246826171875 × 2 - 1) × π
    0.01849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05809952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372421264648438 × 2 - 1) × π
    0.255157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801600835446579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05809952} λ = 0.05809952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801600835446579))-π/2
    2×atan(2.22910650648898)-π/2
    2×1.14909872891236-π/2
    2.29819745782472-1.57079632675     		φ = 0.72740113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05809952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.328857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72740113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.677015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33374 KachelY 24407 0.05809952 0.72740113 3.328857 41.677015
    Oben rechts KachelX + 1 33375 KachelY 24407 0.05819540 0.72740113 3.334351 41.677015
    Unten links KachelX 33374 KachelY + 1 24408 0.05809952 0.72732952 3.328857 41.672912
    Unten rechts KachelX + 1 33375 KachelY + 1 24408 0.05819540 0.72732952 3.334351 41.672912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72740113-0.72732952) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dl = 456.227309999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72740113-0.72732952) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dr = 456.227309999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05809952-0.05819540) × cos(0.72740113) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.746904991383039 × 6371000     		do = 456.248019405715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05809952-0.05819540) × cos(0.72732952) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.746952605160643 × 6371000     		du = 456.277104352232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72740113)-sin(0.72732952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746904991383039-0.746952605160643)×R²
    abs(0.05819540-0.05809952)×4.76137776043162e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76137776043162e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76137776043162e-05×40589641000000     		ar = 208159.441348723m²