Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33364 / 24425
↖ ↑ ↗
← N 41.603121°
E  3.273926°		 ← 456.77 m → N 41.603121°
E  3.279419°		 →
↑
456.80 m
↓
↑
456.80 m
↓
N 41.599013°
E  3.273926°		 ← 456.80 m →
208 660 m²		 N 41.599013°
E  3.279419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509101867675781 y=0.372703552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509101867675781 × 216)
    floor (0.509101867675781 × 65536)
    floor (33364.5)     		tx = 33364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372703552246094 × 216)
    floor (0.372703552246094 × 65536)
    floor (24425.5)     		ty = 24425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33364 / 24425 ti = "16/33364/24425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33364/24425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33364 ÷ 216
    33364 ÷ 65536     		x = 0.50909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24425 ÷ 216
    24425 ÷ 65536     		y = 0.372695922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50909423828125 × 2 - 1) × π
    0.0181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05714078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372695922851562 × 2 - 1) × π
    0.254608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.799875107060257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05714078} λ = 0.05714078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799875107060257))-π/2
    2×atan(2.22526299149993)-π/2
    2×1.14845388161168-π/2
    2.29690776322335-1.57079632675     		φ = 0.72611144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05714078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72611144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.603121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33364 KachelY 24425 0.05714078 0.72611144 3.273926 41.603121
    Oben rechts KachelX + 1 33365 KachelY 24425 0.05723666 0.72611144 3.279419 41.603121
    Unten links KachelX 33364 KachelY + 1 24426 0.05714078 0.72603974 3.273926 41.599013
    Unten rechts KachelX + 1 33365 KachelY + 1 24426 0.05723666 0.72603974 3.279419 41.599013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72611144-0.72603974) × R
    7.17000000000079e-05 × 6371000     		dl = 456.80070000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72611144-0.72603974) × R
    7.17000000000079e-05 × 6371000     		dr = 456.80070000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05714078-0.05723666) × cos(0.72611144) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.747761924551316 × 6371000     		do = 456.771478299817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05714078-0.05723666) × cos(0.72603974) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.747809529059158 × 6371000     		du = 456.800557583888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72611144)-sin(0.72603974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747761924551316-0.747809529059158)×R²
    abs(0.05723666-0.05714078)×4.76045078422471e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76045078422471e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76045078422471e-05×40589641000000     		ar = 208660.172835471m²