Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33348 / 33476
↖ ↑ ↗
← S  3.886177°
E  3.186035°		 ← 609.45 m → S  3.886177°
E  3.191528°		 →
↑
609.45 m
↓
↑
609.45 m
↓
S  3.891658°
E  3.186035°		 ← 609.44 m →
371 426 m²		 S  3.891658°
E  3.191528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508857727050781 y=0.510810852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508857727050781 × 216)
    floor (0.508857727050781 × 65536)
    floor (33348.5)     		tx = 33348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510810852050781 × 216)
    floor (0.510810852050781 × 65536)
    floor (33476.5)     		ty = 33476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33348 / 33476 ti = "16/33348/33476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33348/33476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33348 ÷ 216
    33348 ÷ 65536     		x = 0.50885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33476 ÷ 216
    33476 ÷ 65536     		y = 0.51080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50885009765625 × 2 - 1) × π
    0.0177001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05560680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.0216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0678786498619995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05560680} λ = 0.05560680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0678786498619995))-π/2
    2×atan(0.934373853093781)-π/2
    2×0.751484871121696-π/2
    1.50296974224339-1.57079632675     		φ = -0.06782658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05560680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06782658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.886177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33348 KachelY 33476 0.05560680 -0.06782658 3.186035 -3.886177
    Oben rechts KachelX + 1 33349 KachelY 33476 0.05570268 -0.06782658 3.191528 -3.886177
    Unten links KachelX 33348 KachelY + 1 33477 0.05560680 -0.06792224 3.186035 -3.891658
    Unten rechts KachelX + 1 33349 KachelY + 1 33477 0.05570268 -0.06792224 3.191528 -3.891658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06782658--0.06792224) × R
    9.56599999999974e-05 × 6371000     		dl = 609.449859999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06782658--0.06792224) × R
    9.56599999999974e-05 × 6371000     		dr = 609.449859999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05560680-0.05570268) × cos(-0.06782658) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997700659224776 × 6371000     		do = 609.446924284427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05560680-0.05570268) × cos(-0.06792224) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997694171342938 × 6371000     		du = 609.442961152205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06782658)-sin(-0.06792224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997700659224776-0.997694171342938)×R²
    abs(0.05570268-0.05560680)×6.4878818371028e-06×R²
    9.58799999999996e-05×6.4878818371028e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×6.4878818371028e-06×40589641000000     		ar = 371426.135300625m²