Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33337 / 33351
↖ ↑ ↗
← S  3.200848°
E  3.125610°		 ← 609.90 m → S  3.200848°
E  3.131104°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
S  3.206333°
E  3.125610°		 ← 609.90 m →
371 974 m²		 S  3.206333°
E  3.131104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508689880371094 y=0.508903503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508689880371094 × 216)
    floor (0.508689880371094 × 65536)
    floor (33337.5)     		tx = 33337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508903503417969 × 216)
    floor (0.508903503417969 × 65536)
    floor (33351.5)     		ty = 33351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33337 / 33351 ti = "16/33337/33351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33337/33351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33337 ÷ 216
    33337 ÷ 65536     		x = 0.508682250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33351 ÷ 216
    33351 ÷ 65536     		y = 0.508895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508682250976562 × 2 - 1) × π
    0.017364501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05455219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508895874023438 × 2 - 1) × π
    -0.017791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0558944249569855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05455219} λ = 0.05455219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0558944249569855))-π/2
    2×atan(0.945638966495057)-π/2
    2×0.757465491615208-π/2
    1.51493098323042-1.57079632675     		φ = -0.05586534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05455219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.125610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05586534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.200848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33337 KachelY 33351 0.05455219 -0.05586534 3.125610 -3.200848
    Oben rechts KachelX + 1 33338 KachelY 33351 0.05464807 -0.05586534 3.131104 -3.200848
    Unten links KachelX 33337 KachelY + 1 33352 0.05455219 -0.05596107 3.125610 -3.206333
    Unten rechts KachelX + 1 33338 KachelY + 1 33352 0.05464807 -0.05596107 3.131104 -3.206333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05586534--0.05596107) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05586534--0.05596107) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05455219-0.05464807) × cos(-0.05586534) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998439937694576 × 6371000     		do = 609.898513631837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05455219-0.05464807) × cos(-0.05596107) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998434587911973 × 6371000     		du = 609.895245709216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05586534)-sin(-0.05596107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998439937694576-0.998434587911973)×R²
    abs(0.05464807-0.05455219)×5.34978260346985e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.34978260346985e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.34978260346985e-06×40589641000000     		ar = 371973.563925141m²