Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33329 / 33263
↖ ↑ ↗
← S  2.718096°
E  3.081665°		 ← 610.16 m → S  2.718096°
E  3.087158°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
S  2.723583°
E  3.081665°		 ← 610.16 m →
372 252 m²		 S  2.723583°
E  3.087158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508567810058594 y=0.507560729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508567810058594 × 216)
    floor (0.508567810058594 × 65536)
    floor (33329.5)     		tx = 33329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507560729980469 × 216)
    floor (0.507560729980469 × 65536)
    floor (33263.5)     		ty = 33263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33329 / 33263 ti = "16/33329/33263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33329/33263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33329 ÷ 216
    33329 ÷ 65536     		x = 0.508560180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33263 ÷ 216
    33263 ÷ 65536     		y = 0.507553100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508560180664062 × 2 - 1) × π
    0.017120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05378520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507553100585938 × 2 - 1) × π
    -0.015106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0474575306238556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05378520} λ = 0.05378520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0474575306238556))-π/2
    2×atan(0.953650973234506)-π/2
    2×0.761678300129256-π/2
    1.52335660025851-1.57079632675     		φ = -0.04743973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05378520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.081665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04743973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.718096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33329 KachelY 33263 0.05378520 -0.04743973 3.081665 -2.718096
    Oben rechts KachelX + 1 33330 KachelY 33263 0.05388108 -0.04743973 3.087158 -2.718096
    Unten links KachelX 33329 KachelY + 1 33264 0.05378520 -0.04753549 3.081665 -2.723583
    Unten rechts KachelX + 1 33330 KachelY + 1 33264 0.05388108 -0.04753549 3.087158 -2.723583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04743973--0.04753549) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04743973--0.04753549) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05378520-0.05388108) × cos(-0.04743973) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998874947029441 × 6371000     		do = 610.164239727853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05378520-0.05388108) × cos(-0.04753549) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998870401324842 × 6371000     		du = 610.161462977471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04743973)-sin(-0.04753549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998874947029441-0.998870401324842)×R²
    abs(0.05388108-0.05378520)×4.54570459951231e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.54570459951231e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.54570459951231e-06×40589641000000     		ar = 372252.399371141m²