Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33327 / 33265
↖ ↑ ↗
← S  2.729070°
E  3.070678°		 ← 610.16 m → S  2.729070°
E  3.076172°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
S  2.734557°
E  3.070678°		 ← 610.16 m →
372 249 m²		 S  2.734557°
E  3.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508537292480469 y=0.507591247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508537292480469 × 216)
    floor (0.508537292480469 × 65536)
    floor (33327.5)     		tx = 33327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507591247558594 × 216)
    floor (0.507591247558594 × 65536)
    floor (33265.5)     		ty = 33265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33327 / 33265 ti = "16/33327/33265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33327/33265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33327 ÷ 216
    33327 ÷ 65536     		x = 0.508529663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33265 ÷ 216
    33265 ÷ 65536     		y = 0.507583618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508529663085938 × 2 - 1) × π
    0.017059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05359345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507583618164062 × 2 - 1) × π
    -0.015167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0476492782223358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05359345} λ = 0.05359345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0476492782223358))-π/2
    2×atan(0.95346813048099)-π/2
    2×0.761582534629089-π/2
    1.52316506925818-1.57079632675     		φ = -0.04763126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05359345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.070678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04763126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.729070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33327 KachelY 33265 0.05359345 -0.04763126 3.070678 -2.729070
    Oben rechts KachelX + 1 33328 KachelY 33265 0.05368933 -0.04763126 3.076172 -2.729070
    Unten links KachelX 33327 KachelY + 1 33266 0.05359345 -0.04772702 3.070678 -2.734557
    Unten rechts KachelX + 1 33328 KachelY + 1 33266 0.05368933 -0.04772702 3.076172 -2.734557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04763126--0.04772702) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04763126--0.04772702) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05359345-0.05368933) × cos(-0.04763126) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99886584598449 × 6371000     		do = 610.158680341075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05359345-0.05368933) × cos(-0.04772702) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998861281959738 × 6371000     		du = 610.1558923998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04763126)-sin(-0.04772702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99886584598449-0.998861281959738)×R²
    abs(0.05368933-0.05359345)×4.56402475268458e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.56402475268458e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.56402475268458e-06×40589641000000     		ar = 372249.004248051m²