Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3332 / 5884
↖ ↑ ↗
← S 61.522695°
W 33.574219°		 ← 2 329.93 m → S 61.522695°
W 33.530273°		 →
↑
2 329.17 m
↓
↑
2 329.17 m
↓
S 61.543642°
W 33.574219°		 ← 2 328.36 m →
5 424 988 m²		 S 61.543642°
W 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40679931640625 y=0.71832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40679931640625 × 213)
    floor (0.40679931640625 × 8192)
    floor (3332.5)     		tx = 3332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71832275390625 × 213)
    floor (0.71832275390625 × 8192)
    floor (5884.5)     		ty = 5884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3332 / 5884 ti = "13/3332/5884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3332/5884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3332 ÷ 213
    3332 ÷ 8192     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5884 ÷ 213
    5884 ÷ 8192     		y = 0.71826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37137882433057))-π/2
    2×atan(0.253756832131977)-π/2
    2×0.248511367653049-π/2
    0.497022735306097-1.57079632675     		φ = -1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3332 KachelY 5884 -0.58598066 -1.07377359 -33.574219 -61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 3333 KachelY 5884 -0.58521367 -1.07377359 -33.530273 -61.522695
    Unten links KachelX 3332 KachelY + 1 5885 -0.58598066 -1.07413918 -33.574219 -61.543642
    Unten rechts KachelX + 1 3333 KachelY + 1 5885 -0.58521367 -1.07413918 -33.530273 -61.543642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07377359--1.07413918) × R
    0.000365589999999916 × 6371000     		dl = 2329.17388999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07377359--1.07413918) × R
    0.000365589999999916 × 6371000     		dr = 2329.17388999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58521367) × cos(-1.07377359) × R
    0.000766990000000023 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 2329.93191163857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58521367) × cos(-1.07413918) × R
    0.000766990000000023 × 0.476489235680154 × 6371000     		du = 2328.36145290837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07377359)-sin(-1.07413918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.476489235680154)×R²
    abs(-0.58521367--0.58598066)×0.000321387677624074×R²
    0.000766990000000023×0.000321387677624074×6371000²
    0.000766990000000023×0.000321387677624074×40589641000000     		ar = 5424987.69875315m²