Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33290 / 100863
↖ ↑ ↗
← S 69.161581°
W 88.566284°		 ← 108.65 m → S 69.161581°
W 88.563538°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 69.162558°
W 88.566284°		 ← 108.65 m →
11 802 m²		 S 69.162558°
W 88.563538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.253986358642578 y=0.769527435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.253986358642578 × 217)
    floor (0.253986358642578 × 131072)
    floor (33290.5)     		tx = 33290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769527435302734 × 217)
    floor (0.769527435302734 × 131072)
    floor (100863.5)     		ty = 100863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33290 / 100863 ti = "17/33290/100863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33290/100863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33290 ÷ 217
    33290 ÷ 131072     		x = 0.253982543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100863 ÷ 217
    100863 ÷ 131072     		y = 0.769523620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.253982543945312 × 2 - 1) × π
    -0.492034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.54577327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769523620605469 × 2 - 1) × π
    -0.539047241210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.69346685287772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54577327} λ = -1.54577327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69346685287772))-π/2
    2×atan(0.183880929546345)-π/2
    2×0.181849512302057-π/2
    0.363699024604115-1.57079632675     		φ = -1.20709730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54577327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.566284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20709730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.161581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33290 KachelY 100863 -1.54577327 -1.20709730 -88.566284 -69.161581
    Oben rechts KachelX + 1 33291 KachelY 100863 -1.54572533 -1.20709730 -88.563538 -69.161581
    Unten links KachelX 33290 KachelY + 1 100864 -1.54577327 -1.20711435 -88.566284 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 33291 KachelY + 1 100864 -1.54572533 -1.20711435 -88.563538 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20709730--1.20711435) × R
    1.70499999998519e-05 × 6371000     		dl = 108.625549999056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20709730--1.20711435) × R
    1.70499999998519e-05 × 6371000     		dr = 108.625549999056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54577327--1.54572533) × cos(-1.20709730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355733722762319 × 6371000     		do = 108.650235517565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54577327--1.54572533) × cos(-1.20711435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 108.64536862985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20709730)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355733722762319-0.355717787996262)×R²
    abs(-1.54572533--1.54577327)×1.59347660567688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59347660567688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59347660567688e-05×40589641000000     		ar = 11801.9272566353m²