Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3327 / 719
↖ ↑ ↗
← N 81.420492°
W 33.793945°		 ← 728.98 m → N 81.420492°
W 33.750000°		 →
↑
729.29 m
↓
↑
729.29 m
↓
N 81.413933°
W 33.793945°		 ← 729.53 m →
531 835 m²		 N 81.413933°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40618896484375 y=0.08782958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40618896484375 × 213)
    floor (0.40618896484375 × 8192)
    floor (3327.5)     		tx = 3327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08782958984375 × 213)
    floor (0.08782958984375 × 8192)
    floor (719.5)     		ty = 719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3327 / 719 ti = "13/3327/719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3327/719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3327 ÷ 213
    3327 ÷ 8192     		x = 0.4061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 719 ÷ 213
    719 ÷ 8192     		y = 0.0877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0877685546875 × 2 - 1) × π
    0.824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59012656027087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58981561} λ = -0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59012656027087))-π/2
    2×atan(13.3314587294599)-π/2
    2×1.49592599195301-π/2
    2.99185198390603-1.57079632675     		φ = 1.42105566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42105566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.420492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3327 KachelY 719 -0.58981561 1.42105566 -33.793945 81.420492
    Oben rechts KachelX + 1 3328 KachelY 719 -0.58904862 1.42105566 -33.750000 81.420492
    Unten links KachelX 3327 KachelY + 1 720 -0.58981561 1.42094119 -33.793945 81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 3328 KachelY + 1 720 -0.58904862 1.42094119 -33.750000 81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42105566-1.42094119) × R
    0.000114469999999978 × 6371000     		dl = 729.288369999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42105566-1.42094119) × R
    0.000114469999999978 × 6371000     		dr = 729.288369999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58981561--0.58904862) × cos(1.42105566) × R
    0.000766990000000023 × 0.149181706278584 × 6371000     		do = 728.975406721075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58981561--0.58904862) × cos(1.42094119) × R
    0.000766990000000023 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 729.528499514732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42105566)-sin(1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149181706278584-0.149294894358631)×R²
    abs(-0.58904862--0.58981561)×0.000113188080046928×R²
    0.000766990000000023×0.000113188080046928×6371000²
    0.000766990000000023×0.000113188080046928×40589641000000     		ar = 531834.968789129m²