Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3327 / 5875
↖ ↑ ↗
← S 61.333540°
W 33.793945°		 ← 2 344.10 m → S 61.333540°
W 33.750000°		 →
↑
2 343.32 m
↓
↑
2 343.32 m
↓
S 61.354614°
W 33.793945°		 ← 2 342.52 m →
5 491 121 m²		 S 61.354614°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40618896484375 y=0.71722412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40618896484375 × 213)
    floor (0.40618896484375 × 8192)
    floor (3327.5)     		tx = 3327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71722412109375 × 213)
    floor (0.71722412109375 × 8192)
    floor (5875.5)     		ty = 5875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3327 / 5875 ti = "13/3327/5875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3327/5875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3327 ÷ 213
    3327 ÷ 8192     		x = 0.4061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5875 ÷ 213
    5875 ÷ 8192     		y = 0.7171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36447591078528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58981561} λ = -0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36447591078528))-π/2
    2×atan(0.255514553324781)-π/2
    2×0.250162058806051-π/2
    0.500324117612102-1.57079632675     		φ = -1.07047221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07047221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.333540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3327 KachelY 5875 -0.58981561 -1.07047221 -33.793945 -61.333540
    Oben rechts KachelX + 1 3328 KachelY 5875 -0.58904862 -1.07047221 -33.750000 -61.333540
    Unten links KachelX 3327 KachelY + 1 5876 -0.58981561 -1.07084002 -33.793945 -61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 3328 KachelY + 1 5876 -0.58904862 -1.07084002 -33.750000 -61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07047221--1.07084002) × R
    0.000367809999999968 × 6371000     		dl = 2343.3175099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07047221--1.07084002) × R
    0.000367809999999968 × 6371000     		dr = 2343.3175099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58981561--0.58904862) × cos(-1.07047221) × R
    0.000766990000000023 × 0.479709952664207 × 6371000     		do = 2344.09946483994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58981561--0.58904862) × cos(-1.07084002) × R
    0.000766990000000023 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 2342.52230557973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07047221)-sin(-1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479709952664207-0.479387193751709)×R²
    abs(-0.58904862--0.58981561)×0.000322758912498333×R²
    0.000766990000000023×0.000322758912498333×6371000²
    0.000766990000000023×0.000322758912498333×40589641000000     		ar = 5491121.49059262m²