Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3325 / 763
↖ ↑ ↗
← N 81.127169°
W 33.881836°		 ← 753.70 m → N 81.127169°
W 33.837890°		 →
↑
754.01 m
↓
↑
754.01 m
↓
N 81.120389°
W 33.881836°		 ← 754.27 m →
568 513 m²		 N 81.120389°
W 33.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40594482421875 y=0.09320068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40594482421875 × 213)
    floor (0.40594482421875 × 8192)
    floor (3325.5)     		tx = 3325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09320068359375 × 213)
    floor (0.09320068359375 × 8192)
    floor (763.5)     		ty = 763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3325 / 763 ti = "13/3325/763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3325/763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3325 ÷ 213
    3325 ÷ 8192     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 763 ÷ 213
    763 ÷ 8192     		y = 0.0931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0931396484375 × 2 - 1) × π
    0.813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55637898293835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55637898293835))-π/2
    2×atan(12.8890612037643)-π/2
    2×1.49336627088913-π/2
    2.98673254177825-1.57079632675     		φ = 1.41593622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41593622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.127169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3325 KachelY 763 -0.59134959 1.41593622 -33.881836 81.127169
    Oben rechts KachelX + 1 3326 KachelY 763 -0.59058260 1.41593622 -33.837890 81.127169
    Unten links KachelX 3325 KachelY + 1 764 -0.59134959 1.41581787 -33.881836 81.120389
    Unten rechts KachelX + 1 3326 KachelY + 1 764 -0.59058260 1.41581787 -33.837890 81.120389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41593622-1.41581787) × R
    0.000118350000000156 × 6371000     		dl = 754.007850000993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41593622-1.41581787) × R
    0.000118350000000156 × 6371000     		dr = 754.007850000993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59058260) × cos(1.41593622) × R
    0.000766990000000023 × 0.154241881681257 × 6371000     		do = 753.701919872461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59058260) × cos(1.41581787) × R
    0.000766990000000023 × 0.154358814320269 × 6371000     		du = 754.273310428371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41593622)-sin(1.41581787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154241881681257-0.154358814320269)×R²
    abs(-0.59058260--0.59134959)×0.000116932639011136×R²
    0.000766990000000023×0.000116932639011136×6371000²
    0.000766990000000023×0.000116932639011136×40589641000000     		ar = 568512.581289656m²