Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3324 / 765
↖ ↑ ↗
← N 81.113602°
W 33.925781°		 ← 754.85 m → N 81.113602°
W 33.881836°		 →
↑
755.09 m
↓
↑
755.09 m
↓
N 81.106812°
W 33.925781°		 ← 755.42 m →
570 193 m²		 N 81.106812°
W 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40582275390625 y=0.09344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40582275390625 × 213)
    floor (0.40582275390625 × 8192)
    floor (3324.5)     		tx = 3324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09344482421875 × 213)
    floor (0.09344482421875 × 8192)
    floor (765.5)     		ty = 765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3324 / 765 ti = "13/3324/765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3324/765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3324 ÷ 213
    3324 ÷ 8192     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 765 ÷ 213
    765 ÷ 8192     		y = 0.0933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933837890625 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55484500215051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55484500215051))-π/2
    2×atan(12.8693047883593)-π/2
    2×1.49324787914883-π/2
    2.98649575829767-1.57079632675     		φ = 1.41569943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41569943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.113602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3324 KachelY 765 -0.59211658 1.41569943 -33.925781 81.113602
    Oben rechts KachelX + 1 3325 KachelY 765 -0.59134959 1.41569943 -33.881836 81.113602
    Unten links KachelX 3324 KachelY + 1 766 -0.59211658 1.41558091 -33.925781 81.106812
    Unten rechts KachelX + 1 3325 KachelY + 1 766 -0.59134959 1.41558091 -33.881836 81.106812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41569943-1.41558091) × R
    0.000118520000000011 × 6371000     		dl = 755.090920000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41569943-1.41558091) × R
    0.000118520000000011 × 6371000     		dr = 755.090920000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59134959) × cos(1.41569943) × R
    0.000766990000000023 × 0.15447583371691 × 6371000     		do = 754.845124924859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59134959) × cos(1.41558091) × R
    0.000766990000000023 × 0.15459292998482 × 6371000     		du = 755.417315052285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41569943)-sin(1.41558091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15447583371691-0.15459292998482)×R²
    abs(-0.59134959--0.59211658)×0.000117096267910038×R²
    0.000766990000000023×0.000117096267910038×6371000²
    0.000766990000000023×0.000117096267910038×40589641000000     		ar = 570192.728290697m²