Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3323 / 5871
↖ ↑ ↗
← S 61.249102°
W 33.969726°		 ← 2 350.42 m → S 61.249102°
W 33.925781°		 →
↑
2 349.62 m
↓
↑
2 349.62 m
↓
S 61.270233°
W 33.969726°		 ← 2 348.84 m →
5 520 738 m²		 S 61.270233°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40570068359375 y=0.71673583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40570068359375 × 213)
    floor (0.40570068359375 × 8192)
    floor (3323.5)     		tx = 3323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71673583984375 × 213)
    floor (0.71673583984375 × 8192)
    floor (5871.5)     		ty = 5871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3323 / 5871 ti = "13/3323/5871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3323/5871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3323 ÷ 213
    3323 ÷ 8192     		x = 0.4056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5871 ÷ 213
    5871 ÷ 8192     		y = 0.7166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59288357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59288357} λ = -0.59288357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36140794920959))-π/2
    2×atan(0.256299665888183)-π/2
    2×0.250898915724379-π/2
    0.501797831448757-1.57079632675     		φ = -1.06899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59288357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.969726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.249102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3323 KachelY 5871 -0.59288357 -1.06899850 -33.969726 -61.249102
    Oben rechts KachelX + 1 3324 KachelY 5871 -0.59211658 -1.06899850 -33.925781 -61.249102
    Unten links KachelX 3323 KachelY + 1 5872 -0.59288357 -1.06936730 -33.969726 -61.270233
    Unten rechts KachelX + 1 3324 KachelY + 1 5872 -0.59211658 -1.06936730 -33.925781 -61.270233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06899850--1.06936730) × R
    0.000368799999999947 × 6371000     		dl = 2349.62479999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06899850--1.06936730) × R
    0.000368799999999947 × 6371000     		dr = 2349.62479999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59288357--0.59211658) × cos(-1.06899850) × R
    0.000766990000000023 × 0.481002504403885 × 6371000     		do = 2350.41551024285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59288357--0.59211658) × cos(-1.06936730) × R
    0.000766990000000023 × 0.480679137651468 × 6371000     		du = 2348.83538077696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06899850)-sin(-1.06936730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481002504403885-0.480679137651468)×R²
    abs(-0.59211658--0.59288357)×0.000323366752416954×R²
    0.000766990000000023×0.000323366752416954×6371000²
    0.000766990000000023×0.000323366752416954×40589641000000     		ar = 5520738.28005535m²