Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3323 / 1657
↖ ↑ ↗
← N 32.472695°
E112.060547°		 ← 8 245.01 m → N 32.472695°
E112.148438°		 →
↑
8 248.41 m
↓
↑
8 248.41 m
↓
N 32.398516°
E112.060547°		 ← 8 251.79 m →
68 036 178 m²		 N 32.398516°
E112.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8114013671875 y=0.4046630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8114013671875 × 212)
    floor (0.8114013671875 × 4096)
    floor (3323.5)     		tx = 3323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4046630859375 × 212)
    floor (0.4046630859375 × 4096)
    floor (1657.5)     		ty = 1657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3323 / 1657 ti = "12/3323/1657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3323/1657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3323 ÷ 212
    3323 ÷ 4096     		x = 0.811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1657 ÷ 212
    1657 ÷ 4096     		y = 0.404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811279296875 × 2 - 1) × π
    0.62255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95582550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    0.19091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.599786488046143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95582550} λ = 1.95582550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599786488046143))-π/2
    2×atan(1.82172979777511)-π/2
    2×1.06877588595569-π/2
    2.13755177191138-1.57079632675     		φ = 0.56675545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95582550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.060547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56675545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.472695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3323 KachelY 1657 1.95582550 0.56675545 112.060547 32.472695
    Oben rechts KachelX + 1 3324 KachelY 1657 1.95735949 0.56675545 112.148438 32.472695
    Unten links KachelX 3323 KachelY + 1 1658 1.95582550 0.56546077 112.060547 32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 3324 KachelY + 1 1658 1.95735949 0.56546077 112.148438 32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56675545-0.56546077) × R
    0.0012946800000001 × 6371000     		dl = 8248.40628000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56675545-0.56546077) × R
    0.0012946800000001 × 6371000     		dr = 8248.40628000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95582550-1.95735949) × cos(0.56675545) × R
    0.00153398999999999 × 0.8436474038681 × 6371000     		do = 8245.0085050308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95582550-1.95735949) × cos(0.56546077) × R
    0.00153398999999999 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 8251.79494400491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56675545)-sin(0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8436474038681-0.844341807229663)×R²
    abs(1.95735949-1.95582550)×0.000694403361563012×R²
    0.00153398999999999×0.000694403361563012×6371000²
    0.00153398999999999×0.000694403361563012×40589641000000     		ar = 68036178.0879779m²