Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3321 / 6378
↖ ↑ ↗
← S 70.289116°
W 34.057617°		 ← 1 648.11 m → S 70.289116°
W 34.013672°		 →
↑
1 647.54 m
↓
↑
1 647.54 m
↓
S 70.303933°
W 34.057617°		 ← 1 646.92 m →
2 714 347 m²		 S 70.303933°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40545654296875 y=0.77862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40545654296875 × 213)
    floor (0.40545654296875 × 8192)
    floor (3321.5)     		tx = 3321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77862548828125 × 213)
    floor (0.77862548828125 × 8192)
    floor (6378.5)     		ty = 6378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3321 / 6378 ti = "13/3321/6378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3321/6378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3321 ÷ 213
    3321 ÷ 8192     		x = 0.4053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6378 ÷ 213
    6378 ÷ 8192     		y = 0.778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59441756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59441756} λ = -0.59441756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75027207892749))-π/2
    2×atan(0.173726669653679)-π/2
    2×0.172009906533861-π/2
    0.344019813067722-1.57079632675     		φ = -1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59441756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.057617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3321 KachelY 6378 -0.59441756 -1.22677651 -34.057617 -70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 3322 KachelY 6378 -0.59365056 -1.22677651 -34.013672 -70.289116
    Unten links KachelX 3321 KachelY + 1 6379 -0.59441756 -1.22703511 -34.057617 -70.303933
    Unten rechts KachelX + 1 3322 KachelY + 1 6379 -0.59365056 -1.22703511 -34.013672 -70.303933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22677651--1.22703511) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dl = 1647.54059999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22677651--1.22703511) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dr = 1647.54059999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59441756--0.59365056) × cos(-1.22677651) × R
    0.000766999999999962 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 1648.109058466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59441756--0.59365056) × cos(-1.22703511) × R
    0.000766999999999962 × 0.337030629584991 × 6371000     		du = 1646.91938221286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22677651)-sin(-1.22703511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.337030629584991)×R²
    abs(-0.59365056--0.59441756)×0.00024345899436784×R²
    0.000766999999999962×0.00024345899436784×6371000²
    0.000766999999999962×0.00024345899436784×40589641000000     		ar = 2714346.58221189m²