Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3321 / 5893
↖ ↑ ↗
← S 61.710706°
W 34.057617°		 ← 2 315.86 m → S 61.710706°
W 34.013672°		 →
↑
2 315.03 m
↓
↑
2 315.03 m
↓
S 61.731525°
W 34.057617°		 ← 2 314.29 m →
5 359 465 m²		 S 61.731525°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40545654296875 y=0.71942138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40545654296875 × 213)
    floor (0.40545654296875 × 8192)
    floor (3321.5)     		tx = 3321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71942138671875 × 213)
    floor (0.71942138671875 × 8192)
    floor (5893.5)     		ty = 5893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3321 / 5893 ti = "13/3321/5893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3321/5893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3321 ÷ 213
    3321 ÷ 8192     		x = 0.4053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5893 ÷ 213
    5893 ÷ 8192     		y = 0.7193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59441756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37828173787585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59441756} λ = -0.59441756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37828173787585))-π/2
    2×atan(0.2520112025549)-π/2
    2×0.246870662050934-π/2
    0.493741324101869-1.57079632675     		φ = -1.07705500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59441756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.057617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07705500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.710706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3321 KachelY 5893 -0.59441756 -1.07705500 -34.057617 -61.710706
    Oben rechts KachelX + 1 3322 KachelY 5893 -0.59365056 -1.07705500 -34.013672 -61.710706
    Unten links KachelX 3321 KachelY + 1 5894 -0.59441756 -1.07741837 -34.057617 -61.731525
    Unten rechts KachelX + 1 3322 KachelY + 1 5894 -0.59365056 -1.07741837 -34.013672 -61.731525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07705500--1.07741837) × R
    0.000363369999999863 × 6371000     		dl = 2315.03026999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07705500--1.07741837) × R
    0.000363369999999863 × 6371000     		dr = 2315.03026999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59441756--0.59365056) × cos(-1.07705500) × R
    0.000766999999999962 × 0.473923682240649 × 6371000     		do = 2315.85508691871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59441756--0.59365056) × cos(-1.07741837) × R
    0.000766999999999962 × 0.473603679720616 × 6371000     		du = 2314.29137636442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07705500)-sin(-1.07741837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473923682240649-0.473603679720616)×R²
    abs(-0.59365056--0.59441756)×0.000320002520032669×R²
    0.000766999999999962×0.000320002520032669×6371000²
    0.000766999999999962×0.000320002520032669×40589641000000     		ar = 5359464.66748619m²