Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3321 / 3130
↖ ↑ ↗
← S 68.463800°
E111.884765°		 ← 3 587.56 m → S 68.463800°
E111.972656°		 →
↑
3 585.03 m
↓
↑
3 585.03 m
↓
S 68.496040°
E111.884765°		 ← 3 582.44 m →
12 852 309 m²		 S 68.496040°
E111.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8109130859375 y=0.7642822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8109130859375 × 212)
    floor (0.8109130859375 × 4096)
    floor (3321.5)     		tx = 3321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7642822265625 × 212)
    floor (0.7642822265625 × 4096)
    floor (3130.5)     		ty = 3130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3321 / 3130 ti = "12/3321/3130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3321/3130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3321 ÷ 212
    3321 ÷ 4096     		x = 0.810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3130 ÷ 212
    3130 ÷ 4096     		y = 0.76416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810791015625 × 2 - 1) × π
    0.62158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95275754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65976721244482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95275754} λ = 1.95275754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65976721244482))-π/2
    2×atan(0.190183247242062)-π/2
    2×0.187938803074293-π/2
    0.375877606148586-1.57079632675     		φ = -1.19491872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95275754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.884765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19491872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.463800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3321 KachelY 3130 1.95275754 -1.19491872 111.884765 -68.463800
    Oben rechts KachelX + 1 3322 KachelY 3130 1.95429152 -1.19491872 111.972656 -68.463800
    Unten links KachelX 3321 KachelY + 1 3131 1.95275754 -1.19548143 111.884765 -68.496040
    Unten rechts KachelX + 1 3322 KachelY + 1 3131 1.95429152 -1.19548143 111.972656 -68.496040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19491872--1.19548143) × R
    0.000562710000000077 × 6371000     		dl = 3585.02541000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19491872--1.19548143) × R
    0.000562710000000077 × 6371000     		dr = 3585.02541000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95275754-1.95429152) × cos(-1.19491872) × R
    0.00153398000000005 × 0.367089007742529 × 6371000     		do = 3587.55594633336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95275754-1.95429152) × cos(-1.19548143) × R
    0.00153398000000005 × 0.366565524789182 × 6371000     		du = 3582.43995445544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19491872)-sin(-1.19548143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367089007742529-0.366565524789182)×R²
    abs(1.95429152-1.95275754)×0.000523482953347587×R²
    0.00153398000000005×0.000523482953347587×6371000²
    0.00153398000000005×0.000523482953347587×40589641000000     		ar = 12852309.0860974m²