Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3321 / 1340
↖ ↑ ↗
← N 52.696361°
E111.884765°		 ← 5 922.81 m → N 52.696361°
E111.972656°		 →
↑
5 926.37 m
↓
↑
5 926.37 m
↓
N 52.643064°
E111.884765°		 ← 5 930.04 m →
35 122 175 m²		 N 52.643064°
E111.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8109130859375 y=0.3272705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8109130859375 × 212)
    floor (0.8109130859375 × 4096)
    floor (3321.5)     		tx = 3321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3272705078125 × 212)
    floor (0.3272705078125 × 4096)
    floor (1340.5)     		ty = 1340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3321 / 1340 ti = "12/3321/1340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3321/1340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3321 ÷ 212
    3321 ÷ 4096     		x = 0.810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1340 ÷ 212
    1340 ÷ 4096     		y = 0.3271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810791015625 × 2 - 1) × π
    0.62158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95275754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3271484375 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95275754} λ = 1.95275754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08605839779199))-π/2
    2×atan(2.96257374148508)-π/2
    2×1.24526066570588-π/2
    2.49052133141176-1.57079632675     		φ = 0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95275754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.884765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3321 KachelY 1340 1.95275754 0.91972500 111.884765 52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 3322 KachelY 1340 1.95429152 0.91972500 111.972656 52.696361
    Unten links KachelX 3321 KachelY + 1 1341 1.95275754 0.91879479 111.884765 52.643064
    Unten rechts KachelX + 1 3322 KachelY + 1 1341 1.95429152 0.91879479 111.972656 52.643064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91972500-0.91879479) × R
    0.000930210000000042 × 6371000     		dl = 5926.36791000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91972500-0.91879479) × R
    0.000930210000000042 × 6371000     		dr = 5926.36791000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95275754-1.95429152) × cos(0.91972500) × R
    0.00153398000000005 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 5922.81027295567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95275754-1.95429152) × cos(0.91879479) × R
    0.00153398000000005 × 0.606778583453547 × 6371000     		du = 5930.0389531231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91972500)-sin(0.91879479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.606778583453547)×R²
    abs(1.95429152-1.95275754)×0.000739659274906268×R²
    0.00153398000000005×0.000739659274906268×6371000²
    0.00153398000000005×0.000739659274906268×40589641000000     		ar = 35122175.1803228m²