Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3320 / 1654
↖ ↑ ↗
← N 32.694866°
E111.796875°		 ← 8 224.55 m → N 32.694866°
E111.884765°		 →
↑
8 227.96 m
↓
↑
8 227.96 m
↓
N 32.620870°
E111.796875°		 ← 8 231.36 m →
67 699 232 m²		 N 32.620870°
E111.884765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8106689453125 y=0.4039306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8106689453125 × 212)
    floor (0.8106689453125 × 4096)
    floor (3320.5)     		tx = 3320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4039306640625 × 212)
    floor (0.4039306640625 × 4096)
    floor (1654.5)     		ty = 1654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3320 / 1654 ti = "12/3320/1654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3320/1654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3320 ÷ 212
    3320 ÷ 4096     		x = 0.810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1654 ÷ 212
    1654 ÷ 4096     		y = 0.40380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810546875 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95122356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40380859375 × 2 - 1) × π
    0.1923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.604388430409668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95122356} λ = 1.95122356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.604388430409668))-π/2
    2×atan(1.83013261311285)-π/2
    2×1.07071469329628-π/2
    2.14142938659255-1.57079632675     		φ = 0.57063306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95122356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57063306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.694866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3320 KachelY 1654 1.95122356 0.57063306 111.796875 32.694866
    Oben rechts KachelX + 1 3321 KachelY 1654 1.95275754 0.57063306 111.884765 32.694866
    Unten links KachelX 3320 KachelY + 1 1655 1.95122356 0.56934159 111.796875 32.620870
    Unten rechts KachelX + 1 3321 KachelY + 1 1655 1.95275754 0.56934159 111.884765 32.620870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57063306-0.56934159) × R
    0.00129147000000007 × 6371000     		dl = 8227.95537000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57063306-0.56934159) × R
    0.00129147000000007 × 6371000     		dr = 8227.95537000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95122356-1.95275754) × cos(0.57063306) × R
    0.00153397999999982 × 0.841559187018114 × 6371000     		do = 8224.54664100279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95122356-1.95275754) × cos(0.56934159) × R
    0.00153397999999982 × 0.842256091790206 × 6371000     		du = 8231.35748198799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57063306)-sin(0.56934159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841559187018114-0.842256091790206)×R²
    abs(1.95275754-1.95122356)×0.000696904772091833×R²
    0.00153397999999982×0.000696904772091833×6371000²
    0.00153397999999982×0.000696904772091833×40589641000000     		ar = 67699231.7580857m²