Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 332 / 715
↖ ↑ ↗
← S 57.891497°
W 63.281250°		 ← 20.778 km → S 57.891497°
W 62.929687°		 →
↑
20.724 km
↓
↑
20.724 km
↓
S 58.077876°
W 63.281250°		 ← 20.671 km →
429.501 km²		 S 58.077876°
W 62.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32470703125 y=0.69873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32470703125 × 210)
    floor (0.32470703125 × 1024)
    floor (332.5)     		tx = 332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69873046875 × 210)
    floor (0.69873046875 × 1024)
    floor (715.5)     		ty = 715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 332 / 715 ti = "10/332/715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/332/715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 332 ÷ 210
    332 ÷ 1024     		x = 0.32421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 715 ÷ 210
    715 ÷ 1024     		y = 0.6982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32421875 × 2 - 1) × π
    -0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6982421875 × 2 - 1) × π
    -0.396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.24559239972754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10446617} λ = -1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24559239972754))-π/2
    2×atan(0.287770382529893)-π/2
    2×0.280199544549722-π/2
    0.560399089099444-1.57079632675     		φ = -1.01039724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01039724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.891497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 332 KachelY 715 -1.10446617 -1.01039724 -63.281250 -57.891497
    Oben rechts KachelX + 1 333 KachelY 715 -1.09833024 -1.01039724 -62.929687 -57.891497
    Unten links KachelX 332 KachelY + 1 716 -1.10446617 -1.01365016 -63.281250 -58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 333 KachelY + 1 716 -1.09833024 -1.01365016 -62.929687 -58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01039724--1.01365016) × R
    0.00325291999999999 × 6371000     		dl = 20724.35332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01039724--1.01365016) × R
    0.00325291999999999 × 6371000     		dr = 20724.35332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10446617--1.09833024) × cos(-1.01039724) × R
    0.00613593000000012 × 0.531524283937538 × 6371000     		do = 20778.3526388752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10446617--1.09833024) × cos(-1.01365016) × R
    0.00613593000000012 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 20670.5302065464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01039724)-sin(-1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531524283937538-0.528766113348559)×R²
    abs(-1.09833024--1.10446617)×0.00275817058897865×R²
    0.00613593000000012×0.00275817058897865×6371000²
    0.00613593000000012×0.00275817058897865×40589641000000     		ar = 429501025.133973m²