Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 332 / 180
↖ ↑ ↗
← N 81.413933°
W121.640625°		 ← 2 918.11 m → N 81.413933°
W121.464844°		 →
↑
2 922.51 m
↓
↑
2 922.51 m
↓
N 81.387650°
W121.640625°		 ← 2 926.98 m →
8 541 158 m²		 N 81.387650°
W121.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162353515625 y=0.088134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162353515625 × 211)
    floor (0.162353515625 × 2048)
    floor (332.5)     		tx = 332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088134765625 × 211)
    floor (0.088134765625 × 2048)
    floor (180.5)     		ty = 180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 332 / 180 ti = "11/332/180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/332/180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 332 ÷ 211
    332 ÷ 2048     		x = 0.162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 180 ÷ 211
    180 ÷ 2048     		y = 0.087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162109375 × 2 - 1) × π
    -0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087890625 × 2 - 1) × π
    0.82421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58935956987695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12302941} λ = -2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58935956987695))-π/2
    2×atan(13.3212375489521)-π/2
    2×1.4958687597843-π/2
    2.99173751956859-1.57079632675     		φ = 1.42094119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42094119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.413933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 332 KachelY 180 -2.12302941 1.42094119 -121.640625 81.413933
    Oben rechts KachelX + 1 333 KachelY 180 -2.11996145 1.42094119 -121.464844 81.413933
    Unten links KachelX 332 KachelY + 1 181 -2.12302941 1.42048247 -121.640625 81.387650
    Unten rechts KachelX + 1 333 KachelY + 1 181 -2.11996145 1.42048247 -121.464844 81.387650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42094119-1.42048247) × R
    0.000458719999999913 × 6371000     		dl = 2922.50511999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42094119-1.42048247) × R
    0.000458719999999913 × 6371000     		dr = 2922.50511999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12302941--2.11996145) × cos(1.42094119) × R
    0.00306796000000009 × 0.149294894358631 × 6371000     		do = 2918.11399805893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12302941--2.11996145) × cos(1.42048247) × R
    0.00306796000000009 × 0.149748457629629 × 6371000     		du = 2926.97933358021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42094119)-sin(1.42048247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149294894358631-0.149748457629629)×R²
    abs(-2.11996145--2.12302941)×0.000453563270997603×R²
    0.00306796000000009×0.000453563270997603×6371000²
    0.00306796000000009×0.000453563270997603×40589641000000     		ar = 8541157.74406473m²