Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3319 / 5879
↖ ↑ ↗
← S 61.417750°
W 34.145508°		 ← 2 337.80 m → S 61.417750°
W 34.101563°		 →
↑
2 337.01 m
↓
↑
2 337.01 m
↓
S 61.438767°
W 34.145508°		 ← 2 336.22 m →
5 461 612 m²		 S 61.438767°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40521240234375 y=0.71771240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40521240234375 × 213)
    floor (0.40521240234375 × 8192)
    floor (3319.5)     		tx = 3319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71771240234375 × 213)
    floor (0.71771240234375 × 8192)
    floor (5879.5)     		ty = 5879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3319 / 5879 ti = "13/3319/5879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3319/5879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3319 ÷ 213
    3319 ÷ 8192     		x = 0.4051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5879 ÷ 213
    5879 ÷ 8192     		y = 0.7176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59595154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36754387236096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59595154} λ = -0.59595154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36754387236096))-π/2
    2×atan(0.25473184576544)-π/2
    2×0.24942718277377-π/2
    0.498854365547541-1.57079632675     		φ = -1.07194196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59595154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07194196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.417750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3319 KachelY 5879 -0.59595154 -1.07194196 -34.145508 -61.417750
    Oben rechts KachelX + 1 3320 KachelY 5879 -0.59518455 -1.07194196 -34.101563 -61.417750
    Unten links KachelX 3319 KachelY + 1 5880 -0.59595154 -1.07230878 -34.145508 -61.438767
    Unten rechts KachelX + 1 3320 KachelY + 1 5880 -0.59518455 -1.07230878 -34.101563 -61.438767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07194196--1.07230878) × R
    0.00036681999999999 × 6371000     		dl = 2337.01021999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07194196--1.07230878) × R
    0.00036681999999999 × 6371000     		dr = 2337.01021999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59595154--0.59518455) × cos(-1.07194196) × R
    0.000766989999999912 × 0.478419836483918 × 6371000     		do = 2337.79532078129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59595154--0.59518455) × cos(-1.07230878) × R
    0.000766989999999912 × 0.478097688205388 × 6371000     		du = 2336.22114537987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07194196)-sin(-1.07230878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478419836483918-0.478097688205388)×R²
    abs(-0.59518455--0.59595154)×0.00032214827853011×R²
    0.000766989999999912×0.00032214827853011×6371000²
    0.000766989999999912×0.00032214827853011×40589641000000     		ar = 5461612.18617537m²