Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3319 / 1656
↖ ↑ ↗
← N 32.546813°
E111.708984°		 ← 8 238.16 m → N 32.546813°
E111.796875°		 →
↑
8 241.53 m
↓
↑
8 241.53 m
↓
N 32.472695°
E111.708984°		 ← 8 244.95 m →
67 923 016 m²		 N 32.472695°
E111.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8104248046875 y=0.4044189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8104248046875 × 212)
    floor (0.8104248046875 × 4096)
    floor (3319.5)     		tx = 3319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4044189453125 × 212)
    floor (0.4044189453125 × 4096)
    floor (1656.5)     		ty = 1656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3319 / 1656 ti = "12/3319/1656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3319/1656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3319 ÷ 212
    3319 ÷ 4096     		x = 0.810302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1656 ÷ 212
    1656 ÷ 4096     		y = 0.404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810302734375 × 2 - 1) × π
    0.62060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94968958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404296875 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.601320468833984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94968958} λ = 1.94968958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.601320468833984))-π/2
    2×atan(1.82452644073542)-π/2
    2×1.06942268884486-π/2
    2.13884537768971-1.57079632675     		φ = 0.56804905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94968958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56804905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.546813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3319 KachelY 1656 1.94968958 0.56804905 111.708984 32.546813
    Oben rechts KachelX + 1 3320 KachelY 1656 1.95122356 0.56804905 111.796875 32.546813
    Unten links KachelX 3319 KachelY + 1 1657 1.94968958 0.56675545 111.708984 32.472695
    Unten rechts KachelX + 1 3320 KachelY + 1 1657 1.95122356 0.56675545 111.796875 32.472695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56804905-0.56675545) × R
    0.00129360000000001 × 6371000     		dl = 8241.52560000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56804905-0.56675545) × R
    0.00129360000000001 × 6371000     		dr = 8241.52560000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94968958-1.95122356) × cos(0.56804905) × R
    0.00153398000000005 × 0.842952167416165 × 6371000     		do = 8238.16021974034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94968958-1.95122356) × cos(0.56675545) × R
    0.00153398000000005 × 0.8436474038681 × 6371000     		du = 8244.95475625503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56804905)-sin(0.56675545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842952167416165-0.8436474038681)×R²
    abs(1.95122356-1.94968958)×0.000695236451935477×R²
    0.00153398000000005×0.000695236451935477×6371000²
    0.00153398000000005×0.000695236451935477×40589641000000     		ar = 67923016.4930758m²