Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3317 / 740
↖ ↑ ↗
← N 81.281717°
W 34.233399°		 ← 740.68 m → N 81.281717°
W 34.189453°		 →
↑
740.95 m
↓
↑
740.95 m
↓
N 81.275053°
W 34.233399°		 ← 741.24 m →
549 010 m²		 N 81.275053°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40496826171875 y=0.09039306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40496826171875 × 213)
    floor (0.40496826171875 × 8192)
    floor (3317.5)     		tx = 3317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09039306640625 × 213)
    floor (0.09039306640625 × 8192)
    floor (740.5)     		ty = 740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3317 / 740 ti = "13/3317/740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3317/740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3317 ÷ 213
    3317 ÷ 8192     		x = 0.4049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 740 ÷ 213
    740 ÷ 8192     		y = 0.09033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09033203125 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57401976199854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59748552} λ = -0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57401976199854))-π/2
    2×atan(13.1184516490628)-π/2
    2×1.49471495504833-π/2
    2.98942991009665-1.57079632675     		φ = 1.41863358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41863358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.281717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3317 KachelY 740 -0.59748552 1.41863358 -34.233399 81.281717
    Oben rechts KachelX + 1 3318 KachelY 740 -0.59671853 1.41863358 -34.189453 81.281717
    Unten links KachelX 3317 KachelY + 1 741 -0.59748552 1.41851728 -34.233399 81.275053
    Unten rechts KachelX + 1 3318 KachelY + 1 741 -0.59671853 1.41851728 -34.189453 81.275053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41863358-1.41851728) × R
    0.000116299999999958 × 6371000     		dl = 740.947299999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41863358-1.41851728) × R
    0.000116299999999958 × 6371000     		dr = 740.947299999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59748552--0.59671853) × cos(1.41863358) × R
    0.000766990000000023 × 0.151576242789862 × 6371000     		do = 740.676293316092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59748552--0.59671853) × cos(1.41851728) × R
    0.000766990000000023 × 0.151691197984176 × 6371000     		du = 741.238021101758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41863358)-sin(1.41851728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151576242789862-0.151691197984176)×R²
    abs(-0.59671853--0.59748552)×0.000114955194313926×R²
    0.000766990000000023×0.000114955194313926×6371000²
    0.000766990000000023×0.000114955194313926×40589641000000     		ar = 549010.205666404m²