Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3317 / 739
↖ ↑ ↗
← N 81.288376°
W 34.233399°		 ← 740.11 m → N 81.288376°
W 34.189453°		 →
↑
740.44 m
↓
↑
740.44 m
↓
N 81.281717°
W 34.233399°		 ← 740.68 m →
548 217 m²		 N 81.281717°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40496826171875 y=0.09027099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40496826171875 × 213)
    floor (0.40496826171875 × 8192)
    floor (3317.5)     		tx = 3317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09027099609375 × 213)
    floor (0.09027099609375 × 8192)
    floor (739.5)     		ty = 739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3317 / 739 ti = "13/3317/739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3317/739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3317 ÷ 213
    3317 ÷ 8192     		x = 0.4049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 739 ÷ 213
    739 ÷ 8192     		y = 0.0902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0902099609375 × 2 - 1) × π
    0.819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57478675239246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59748552} λ = -0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57478675239246))-π/2
    2×atan(13.1285172350712)-π/2
    2×1.49477306177907-π/2
    2.98954612355813-1.57079632675     		φ = 1.41874980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41874980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.288376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3317 KachelY 739 -0.59748552 1.41874980 -34.233399 81.288376
    Oben rechts KachelX + 1 3318 KachelY 739 -0.59671853 1.41874980 -34.189453 81.288376
    Unten links KachelX 3317 KachelY + 1 740 -0.59748552 1.41863358 -34.233399 81.281717
    Unten rechts KachelX + 1 3318 KachelY + 1 740 -0.59671853 1.41863358 -34.189453 81.281717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41874980-1.41863358) × R
    0.00011622 × 6371000     		dl = 740.437620000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41874980-1.41863358) × R
    0.00011622 × 6371000     		dr = 740.437620000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59748552--0.59671853) × cos(1.41874980) × R
    0.000766990000000023 × 0.151461364622429 × 6371000     		do = 740.114941921766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59748552--0.59671853) × cos(1.41863358) × R
    0.000766990000000023 × 0.151576242789862 × 6371000     		du = 740.676293316092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41874980)-sin(1.41863358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151461364622429-0.151576242789862)×R²
    abs(-0.59671853--0.59748552)×0.000114878167432497×R²
    0.000766990000000023×0.000114878167432497×6371000²
    0.000766990000000023×0.000114878167432497×40589641000000     		ar = 548216.769584991m²