Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3317 / 6374
↖ ↑ ↗
← S 70.229744°
W 34.233399°		 ← 1 652.85 m → S 70.229744°
W 34.189453°		 →
↑
1 652.26 m
↓
↑
1 652.26 m
↓
S 70.244603°
W 34.233399°		 ← 1 651.66 m →
2 729 951 m²		 S 70.244603°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40496826171875 y=0.77813720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40496826171875 × 213)
    floor (0.40496826171875 × 8192)
    floor (3317.5)     		tx = 3317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77813720703125 × 213)
    floor (0.77813720703125 × 8192)
    floor (6374.5)     		ty = 6374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3317 / 6374 ti = "13/3317/6374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3317/6374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3317 ÷ 213
    3317 ÷ 8192     		x = 0.4049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6374 ÷ 213
    6374 ÷ 8192     		y = 0.778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.55615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74720411735181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59748552} λ = -0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74720411735181))-π/2
    2×atan(0.174260474829033)-π/2
    2×0.172528026264338-π/2
    0.345056052528676-1.57079632675     		φ = -1.22574027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22574027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.229744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3317 KachelY 6374 -0.59748552 -1.22574027 -34.233399 -70.229744
    Oben rechts KachelX + 1 3318 KachelY 6374 -0.59671853 -1.22574027 -34.189453 -70.229744
    Unten links KachelX 3317 KachelY + 1 6375 -0.59748552 -1.22599961 -34.233399 -70.244603
    Unten rechts KachelX + 1 3318 KachelY + 1 6375 -0.59671853 -1.22599961 -34.189453 -70.244603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22574027--1.22599961) × R
    0.000259339999999941 × 6371000     		dl = 1652.25513999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22574027--1.22599961) × R
    0.000259339999999941 × 6371000     		dr = 1652.25513999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59748552--0.59671853) × cos(-1.22574027) × R
    0.000766990000000023 × 0.338249430390024 × 6371000     		do = 1652.85357194722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59748552--0.59671853) × cos(-1.22599961) × R
    0.000766990000000023 × 0.338005365427029 × 6371000     		du = 1651.66095014322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22574027)-sin(-1.22599961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338249430390024-0.338005365427029)×R²
    abs(-0.59671853--0.59748552)×0.000244064962995227×R²
    0.000766990000000023×0.000244064962995227×6371000²
    0.000766990000000023×0.000244064962995227×40589641000000     		ar = 2729950.567465m²