Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3316 / 6382
↖ ↑ ↗
← S 70.348317°
W 34.277344°		 ← 1 643.33 m → S 70.348317°
W 34.233399°		 →
↑
1 642.76 m
↓
↑
1 642.76 m
↓
S 70.363091°
W 34.277344°		 ← 1 642.15 m →
2 698 632 m²		 S 70.363091°
W 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40484619140625 y=0.77911376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40484619140625 × 213)
    floor (0.40484619140625 × 8192)
    floor (3316.5)     		tx = 3316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77911376953125 × 213)
    floor (0.77911376953125 × 8192)
    floor (6382.5)     		ty = 6382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3316 / 6382 ti = "13/3316/6382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3316/6382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3316 ÷ 213
    3316 ÷ 8192     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6382 ÷ 213
    6382 ÷ 8192     		y = 0.779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75334004050317))-π/2
    2×atan(0.173194499662468)-π/2
    2×0.171493281076931-π/2
    0.342986562153863-1.57079632675     		φ = -1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3316 KachelY 6382 -0.59825251 -1.22780976 -34.277344 -70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 3317 KachelY 6382 -0.59748552 -1.22780976 -34.233399 -70.348317
    Unten links KachelX 3316 KachelY + 1 6383 -0.59825251 -1.22806761 -34.277344 -70.363091
    Unten rechts KachelX + 1 3317 KachelY + 1 6383 -0.59748552 -1.22806761 -34.233399 -70.363091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22780976--1.22806761) × R
    0.000257850000000115 × 6371000     		dl = 1642.76235000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22780976--1.22806761) × R
    0.000257850000000115 × 6371000     		dr = 1642.76235000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59748552) × cos(-1.22780976) × R
    0.000766990000000023 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 1643.33355943482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59748552) × cos(-1.22806761) × R
    0.000766990000000023 × 0.336058357883446 × 6371000     		du = 1642.14691084593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22780976)-sin(-1.22806761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.336058357883446)×R²
    abs(-0.59748552--0.59825251)×0.000242842570012836×R²
    0.000766990000000023×0.000242842570012836×6371000²
    0.000766990000000023×0.000242842570012836×40589641000000     		ar = 2698631.82407121m²