Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3316 / 6381
↖ ↑ ↗
← S 70.333533°
W 34.277344°		 ← 1 644.52 m → S 70.333533°
W 34.233399°		 →
↑
1 643.91 m
↓
↑
1 643.91 m
↓
S 70.348317°
W 34.277344°		 ← 1 643.33 m →
2 702 467 m²		 S 70.348317°
W 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40484619140625 y=0.77899169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40484619140625 × 213)
    floor (0.40484619140625 × 8192)
    floor (3316.5)     		tx = 3316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77899169921875 × 213)
    floor (0.77899169921875 × 8192)
    floor (6381.5)     		ty = 6381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3316 / 6381 ti = "13/3316/6381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3316/6381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3316 ÷ 213
    3316 ÷ 8192     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6381 ÷ 213
    6381 ÷ 8192     		y = 0.7789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75257305010925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75257305010925))-π/2
    2×atan(0.173327389135949)-π/2
    2×0.171622297558697-π/2
    0.343244595117394-1.57079632675     		φ = -1.22755173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22755173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.333533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3316 KachelY 6381 -0.59825251 -1.22755173 -34.277344 -70.333533
    Oben rechts KachelX + 1 3317 KachelY 6381 -0.59748552 -1.22755173 -34.233399 -70.333533
    Unten links KachelX 3316 KachelY + 1 6382 -0.59825251 -1.22780976 -34.277344 -70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 3317 KachelY + 1 6382 -0.59748552 -1.22780976 -34.233399 -70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22755173--1.22780976) × R
    0.000258029999999909 × 6371000     		dl = 1643.90912999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22755173--1.22780976) × R
    0.000258029999999909 × 6371000     		dr = 1643.90912999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59748552) × cos(-1.22755173) × R
    0.000766990000000023 × 0.336544190164127 × 6371000     		do = 1644.52092702554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59748552) × cos(-1.22780976) × R
    0.000766990000000023 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 1643.33355943482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22755173)-sin(-1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336544190164127-0.336301200453459)×R²
    abs(-0.59748552--0.59825251)×0.000242989710668606×R²
    0.000766990000000023×0.000242989710668606×6371000²
    0.000766990000000023×0.000242989710668606×40589641000000     		ar = 2702467.01919521m²