Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33159 / 22150
↖ ↑ ↗
← N 75.754886°
W 88.926086°		 ← 75.16 m → N 75.754886°
W 88.923340°		 →
↑
75.18 m
↓
↑
75.18 m
↓
N 75.754210°
W 88.926086°		 ← 75.16 m →
5 650 m²		 N 75.754210°
W 88.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252986907958984 y=0.168994903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252986907958984 × 217)
    floor (0.252986907958984 × 131072)
    floor (33159.5)     		tx = 33159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168994903564453 × 217)
    floor (0.168994903564453 × 131072)
    floor (22150.5)     		ty = 22150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33159 / 22150 ti = "17/33159/22150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33159/22150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33159 ÷ 217
    33159 ÷ 131072     		x = 0.252983093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22150 ÷ 217
    22150 ÷ 131072     		y = 0.168991088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252983093261719 × 2 - 1) × π
    -0.494033813476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.55205300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168991088867188 × 2 - 1) × π
    0.662017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.07979032691576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55205300} λ = -1.55205300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07979032691576))-π/2
    2×atan(8.0027907685485)-π/2
    2×1.44648425240667-π/2
    2.89296850481335-1.57079632675     		φ = 1.32217218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55205300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.926086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32217218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.754886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33159 KachelY 22150 -1.55205300 1.32217218 -88.926086 75.754886
    Oben rechts KachelX + 1 33160 KachelY 22150 -1.55200506 1.32217218 -88.923340 75.754886
    Unten links KachelX 33159 KachelY + 1 22151 -1.55205300 1.32216038 -88.926086 75.754210
    Unten rechts KachelX + 1 33160 KachelY + 1 22151 -1.55200506 1.32216038 -88.923340 75.754210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32217218-1.32216038) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dl = 75.1778000000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32217218-1.32216038) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dr = 75.1778000000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55205300--1.55200506) × cos(1.32217218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246070644249877 × 6371000     		do = 75.1563086122461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55205300--1.55200506) × cos(1.32216038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246082081405119 × 6371000     		du = 75.1598018138493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32217218)-sin(1.32216038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246070644249877-0.246082081405119)×R²
    abs(-1.55200506--1.55205300)×1.14371552419334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14371552419334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14371552419334e-05×40589641000000     		ar = 5650.21724339924m²