Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33158 / 22151
↖ ↑ ↗
← N 75.754210°
W 88.928833°		 ← 75.16 m → N 75.754210°
W 88.926086°		 →
↑
75.11 m
↓
↑
75.11 m
↓
N 75.753534°
W 88.928833°		 ← 75.16 m →
5 646 m²		 N 75.753534°
W 88.926086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252979278564453 y=0.169002532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252979278564453 × 217)
    floor (0.252979278564453 × 131072)
    floor (33158.5)     		tx = 33158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169002532958984 × 217)
    floor (0.169002532958984 × 131072)
    floor (22151.5)     		ty = 22151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33158 / 22151 ti = "17/33158/22151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33158/22151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33158 ÷ 217
    33158 ÷ 131072     		x = 0.252975463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22151 ÷ 217
    22151 ÷ 131072     		y = 0.168998718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252975463867188 × 2 - 1) × π
    -0.494049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.55210094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168998718261719 × 2 - 1) × π
    0.662002563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.07974239001614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55210094} λ = -1.55210094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07974239001614))-π/2
    2×atan(8.0024071487656)-π/2
    2×1.44647835433772-π/2
    2.89295670867544-1.57079632675     		φ = 1.32216038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55210094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.928833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32216038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.754210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33158 KachelY 22151 -1.55210094 1.32216038 -88.928833 75.754210
    Oben rechts KachelX + 1 33159 KachelY 22151 -1.55205300 1.32216038 -88.926086 75.754210
    Unten links KachelX 33158 KachelY + 1 22152 -1.55210094 1.32214859 -88.928833 75.753534
    Unten rechts KachelX + 1 33159 KachelY + 1 22152 -1.55205300 1.32214859 -88.926086 75.753534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32216038-1.32214859) × R
    1.1789999999845e-05 × 6371000     		dl = 75.1140899990124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32216038-1.32214859) × R
    1.1789999999845e-05 × 6371000     		dr = 75.1140899990124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55210094--1.55205300) × cos(1.32216038) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.246082081405119 × 6371000     		do = 75.1598018141975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55210094--1.55205300) × cos(1.32214859) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.246093508833635 × 6371000     		du = 75.1632920450084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32216038)-sin(1.32214859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246082081405119-0.246093508833635)×R²
    abs(-1.55205300--1.55210094)×1.14274285164251e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.14274285164251e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.14274285164251e-05×40589641000000     		ar = 5645.69120048126m²