Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33122 / 102117
↖ ↑ ↗
← S 70.352935°
W 89.027710°		 ← 102.67 m → S 70.352935°
W 89.024964°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.353859°
W 89.027710°		 ← 102.67 m →
10 544 m²		 S 70.353859°
W 89.024964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252704620361328 y=0.779094696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252704620361328 × 217)
    floor (0.252704620361328 × 131072)
    floor (33122.5)     		tx = 33122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779094696044922 × 217)
    floor (0.779094696044922 × 131072)
    floor (102117.5)     		ty = 102117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33122 / 102117 ti = "17/33122/102117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33122/102117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33122 ÷ 217
    33122 ÷ 131072     		x = 0.252700805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102117 ÷ 217
    102117 ÷ 131072     		y = 0.779090881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252700805664062 × 2 - 1) × π
    -0.494598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.55382666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779090881347656 × 2 - 1) × π
    -0.558181762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.75357972500127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55382666} λ = -1.55382666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75357972500127))-π/2
    2×atan(0.173152992600241)-π/2
    2×0.171452982533623-π/2
    0.342905965067245-1.57079632675     		φ = -1.22789036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55382666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.027710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22789036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.352935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33122 KachelY 102117 -1.55382666 -1.22789036 -89.027710 -70.352935
    Oben rechts KachelX + 1 33123 KachelY 102117 -1.55377873 -1.22789036 -89.024964 -70.352935
    Unten links KachelX 33122 KachelY + 1 102118 -1.55382666 -1.22790648 -89.027710 -70.353859
    Unten rechts KachelX + 1 33123 KachelY + 1 102118 -1.55377873 -1.22790648 -89.024964 -70.353859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22789036--1.22790648) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22789036--1.22790648) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55382666--1.55377873) × cos(-1.22789036) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.336225293950002 × 6371000     		do = 102.670438297506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55382666--1.55377873) × cos(-1.22790648) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.336210112387186 × 6371000     		du = 102.665802424666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22789036)-sin(-1.22790648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336225293950002-0.336210112387186)×R²
    abs(-1.55377873--1.55382666)×1.51815628160468e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.51815628160468e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.51815628160468e-05×40589641000000     		ar = 10544.0693487171m²