Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33120 / 102114
↖ ↑ ↗
← S 70.350165°
W 89.033203°		 ← 102.71 m → S 70.350165°
W 89.030456°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.351089°
W 89.033203°		 ← 102.70 m →
10 548 m²		 S 70.351089°
W 89.030456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252689361572266 y=0.779071807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252689361572266 × 217)
    floor (0.252689361572266 × 131072)
    floor (33120.5)     		tx = 33120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779071807861328 × 217)
    floor (0.779071807861328 × 131072)
    floor (102114.5)     		ty = 102114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33120 / 102114 ti = "17/33120/102114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33120/102114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33120 ÷ 217
    33120 ÷ 131072     		x = 0.252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102114 ÷ 217
    102114 ÷ 131072     		y = 0.779067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.49462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.55392254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.558135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75343591430241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55392254} λ = -1.55392254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75343591430241))-π/2
    2×atan(0.173177895643736)-π/2
    2×0.171477160568023-π/2
    0.342954321136047-1.57079632675     		φ = -1.22784201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55392254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22784201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.350165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33120 KachelY 102114 -1.55392254 -1.22784201 -89.033203 -70.350165
    Oben rechts KachelX + 1 33121 KachelY 102114 -1.55387460 -1.22784201 -89.030456 -70.350165
    Unten links KachelX 33120 KachelY + 1 102115 -1.55392254 -1.22785813 -89.033203 -70.351089
    Unten rechts KachelX + 1 33121 KachelY + 1 102115 -1.55387460 -1.22785813 -89.030456 -70.351089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22784201--1.22785813) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22784201--1.22785813) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55392254--1.55387460) × cos(-1.22784201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336270828696563 × 6371000     		do = 102.705766694994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55392254--1.55387460) × cos(-1.22785813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336255647395813 × 6371000     		du = 102.701129934978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22784201)-sin(-1.22785813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336270828696563-0.336255647395813)×R²
    abs(-1.55387460--1.55392254)×1.51813007495671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51813007495671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51813007495671e-05×40589641000000     		ar = 10547.697548071m²